Ein Satz über das dem Kegelschnitt umschriebene Siebeneck. (Q1538492)

Dem Brianchon'schen Satze für das einem Kegelschnitt umbeschriebene Sechseck schliesst sich ein Satz über das umbeschriebene Achteck an, den Herr Hurwitz aus der Betrachtung eines auf dem einfachen Hyperboloid verlaufenden geradlinigen räumlichen Achtecks durch perspective Projection (Vgl. Schröter's Theorie der Oberflächen zweiter Ordnung u. s. w., S. 121) gewann. Ein zweiter Beweis wird hier vom Verfasser dadurch geliefert, dass er die vier Geraden 12, 34, 56, 78 eines aus den acht Punkten 1 bis 8 bestehenden, einem Kegelschnitt umgeschriebenen Achtecks als Curve vierter Ordnung betrachtet, und ebenso die vier Geraden 23, 45, 67, 81. Beide Curven vierter Ordnung schneiden sich in 16 Punkten, und jede neue Curve vierter Ordnung die durch 13 dieser Punkte hindurchgeht, muss auch die drei übrigen enthalten. Nun liegen acht von diesen Punkten, nämlich 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 auf einem Kegelschnitt. Folglich müssen die übrigen acht auch auf einem solchen liegen. Dies sind aber die Ecken desjenigen Achtecks, dessen aufeinander folgende Seiten 12, 45, 78, 23, 56, 81, 34, 67 sind. Weder auf diese Weise, noch durch Projection lässt sich ein wohl noch nicht bemerkter Satz über das einem Kegelschnitt umbeschriebene Siebeneck ableiten. Dieser von Herrn Schröter angegebene Satz lautet: Berühren die Seiten 12, 23, 34, 45, 56, 67, 71 eines einfachen Siebenecks 1 2 3 4 5 6 7 einen Kegelschnitt, so bilden dieDiagonalen desselben, in der Reihenfolge genommen: \[ 14,\;25,\;36,\;47,\;51,\;62,\;73, \] ein neues einfaches Siebeneck, welches einem zweiten Kegelschnitt einbeschrieben ist.