Die Theorie der ebenen Curven dritter Ordnung. (Q1538510)

Der berühmte Herausgeber von Jacob Steiner's Vorlesungen über die auf projective Eigenschaften gestützte Theorie der Kegelschnitte (in zweiter Auflage 1876 bei Teubner) giebt hier in einem fast 19 Druckbogen umfassenden Buche eine einheitliche, rein synthetische Entwickelung der Eigenschaften der ebenen Curven dritter Ordnung, wie sie für diejenigen wünschenswert erscheint, welche zuerst an das Studium der Curven dritter Ordnung herantreten und keine anderen Hülfsmittel beherrschen, als die Bekanntschaft mit den Elementen der sythetischen Geometrie und den Haupteigenschaften der Kegelschnitte. Zwar sind die in dem Buche gewonnenen Resultate, welche verschiedenen Zeiten und verschiedenen Urhebern angehören, zum grossen Teil schon Gemeingut der Wissenschaft geworden; aber gerade deshalb erscheint es wünschenswert, ein Lehrbuch zu besitzen, welches die ebenen Curven dritter Ordnung in derselben Weise behandelt, wie das oben genannte Buch desselben Verfassers die Lehre von den Kegelschnitten darstellt; und indem die Erzeugungsweisen und die Eigenschaften der Curven dritter Ordnung sich naturgemäss auf die Eigenschaften der Kegelschnitte stützen, kann das vorliegende Buch als eine Fortsetzung des Buches über die Kegelschnitte betrachtet werden. Ueberdies lag auch noch kein Versuch zu einer buchartigen, zusammenfassenden synthetischen Darstellung der ebenen Curven dritter Ordnung vor, da das von Salmon verfasste und von Fiedler übersetzte Buch ``A treatise on higher plane curves'' diese Curven völlig analytisch, das Buch von Durège (Leipzig 1871) sie überwiegend analytisch behandelt, und endlich das von Cremona 1862 herausgegebene Buch über ebene Curven einerseits zu alt ist, andererseits die Curven dritter Ordnung auch nur als Beispiel für die vorausgehende allgemeine Theorie behandelt. Da der Verfasser in der Vorrede den Gang der Untersuchung selbst skizzirt, so erscheint es am zweckmässigsten, dieses Selbst-Referat hier folgen zu lassen: ``Der Verfasser beginnt mit der Construction der \(C^{(3)}\) aus drei Paaren conjugirter Punkte derselben, von welcher Clebsch (Math. Ann. V. 422) erklärte, dass ``sie an Einfachheit das Aeusserste leiste'', und deren Ursprung bei einer ausgearteten \(C^{(3)}\) in den Polareigenschaften des Kegelschnitts sich findet. Auf ihr entspringt die Erzeugung der \(C^{(3)}\) vermittelst zweier Strahleninvolutionen in projectiver Beziehung und halb-perspectiver Lage, wodurch eine gelegentliche Bemerkung Steiner's bestätigt wird, ``dass das eigentliche Wesen vieler Eigenschaften der Curve dritten Grades vornehmlich auf der sogenannten Involution beruhe'' (J. für Math. XLVII. 6: ``Allgemeine Eigenschaften der algebraischen Curven''). Man gelangt hiernach ungezwungen sowohl zu der \(C^{(3)}\) als Tripelcurve eines Kegelschnittnetzes, als auch zu den Chasles'schen Erzeugungsweisen vermittelst Kegelschnittbüschel und Strahlenbüschel oder zweier Kegelschnittbüschel in projectiver Abhängigkeit und besonderer Lage, da eine Strahleninvolution auch nur ein Büschel ausgearterer Kegelschnitte ist. Hieran reihen sich verschiedene Constructionen der \(C^{(3)}\) aus neun willkürlich und unabhängig von einander gegebenen Punkten, sowie der Hauptsatz (Schnittpunktsatz), welcher die Bedingung zwischen den neun Durchschnittspunkten zweier Curven dritter Ordnung enthält, und die Construction des neunten notwendigen Punktes einer Gruppe von neun associirten Punkten, von denen acht willkürlich gegeben sind. Die Tangentenquadrupel aus drei in gerader Linie liegenden Punkten der \(C^{(3)}\) liefern eine eigentümliche Configuration ihrer Berührungspunkte, sowie ihrer Durchschnittpunkte und zeigen den Salmon'schen Satz von dem constanten Werte des Doppelverhältisses eines Tangentenquadrupels. Die ursprügliche Erzeugung der \(C^{(3)}\) vermittelst zweier projectiven Strahleninvolutionen in halbperspectiver Lage führt nun zu der Einteilung der \(C^{(3)}\) in ihre zwei Hauptgattungen (die einzügige und die zweizügige), sowie zu den acht verschiedenen Gestalten derselben, von denen drei der ersten und fünf der zweiten Gattung angehören unter Berücksichtigung der unendlich-entfernten Curvenpunkte (Durège: ``Ueber die Formen der Curven dritter Ordnung'', J. für Math. LXXV. 153). Die Bedingungen für die Erzeugung der verschiedenen Gestalten der \(C^{(3)}\) werden aufgesucht. Die Betrachtung des Tangentenquadrupels aus einem Curvenpunkte hatte schon zur konischen Polare desselben geführt; die Erweiterung derselben zeigt uns das ganze Kegelschnittnetz der konischen Polaren für sämtliche Punkte der Ebene und eröffnet den Einblick in die vielfach verschlungenen Polareigenschaften einer \(C^{(3)}\) und den Zusammenhang unter den konischen und geraden Polaren mit den Polokoniken und dem begleitenden Kegelschnitt. Hier treten auch die metrischen Beziehungen auf, welche bei Cremona den Ausgangspunkt bilden, von dem er zu den Polareigenschaften der \(C^{(3)}\) gelangt. Die ausgearteten Kegelschnitte des Netzes der konischen Polaren zeigen uns die Hesse'sche und die Cayley'sche Curve, deren Zusammenhang schon bei der Einführung des Kegelschnittnetzes hervortrat. Die Hesse'sche Curve bietet den unmittelbaren Anhalt zur Untersuchung der Wendepunkte einer \(C^{(3)}\), ihrer Configuration und Realität, sowie der Lagenbeziehung ihrer harmonischen Polaren. Den Schluss der Untersuchung bilden einerseits die Steiner'schen Schliessungsprobleme für die \(C^{(3)}\), welche nach dem Vorgange von Küpper und Schoute eine synthetische Lösung finden, und anderersetis die von Steiner ohne Beweis angegebenen Eigenschaften von mehrpunktig die \(C^{(3)}\) berührenden Kegelschnitten. Ausgeschlossen von der Betrachtung blieb vorläufig die Curve dritter Ordnung mit einem Doppelpunkt, sowie die Büschel von Curven dritter Ordnung''. Dem Wunsche des Verfassers, dass sein Buch den Freunden synthetisch-geometrischer Forschung Anregung und Stoff zu eigener Untersuchung und zur Erweiterung der angestellten Betrachtungen darbiete, möchte der Referent den Wunsch hinzufügen, dass bald eine zweite Auflage notwendig sein möchte, welche auch die elementaren Systeme der Curven dritter Ordnung und im Zusammenhang damit die von Zeuthen und dem Referenten erkannten verschiedenen Ausartungen derselben behandelt.