Sur les lignes asymptotiques et leur représentation sphérique. (Q1538700)

Es wird der Satz hergeleitet: Die Coordinaten eines Punktes einer Fläche \(\vartheta_1,\vartheta_2,\vartheta_3\) bezüglich auf die asymptotischen Linien, deren Parameter \(\varrho,\varrho_1\) sind, befriedigen die drei Gleichungen: \[ d\vartheta_1=\left(\nu_2\;\frac{\partial\nu_3}{\partial\varrho}-\nu_3\;\frac{\partial\nu_2}{\partial\varrho}\right)d\varrho-\left(\nu_2\;\frac{\partial\nu_3}{\partial\varrho_1}-\nu_3\;\frac{\partial\nu_2}{\partial\varrho_1}\right)d\varrho_1 \] (die andern durch cyklische Vertauschung der Indices von \(\vartheta,\nu\) zu bilden), wo \(\nu_1,\nu_2,\nu_3\) drei Lösungen der Gleichung \[ \frac{\partial^2\nu}{\partial\varrho\partial\varrho_1}=K\nu \] und \(K\) eine Function von \(\varrho\) und \(\varrho_1\) ist; und umgekehrt. Dies Resultat gilt auch, wenn die \(\vartheta\) tangentielle Coordinaten sind. In Anwendung davon auf die sphärische Darstellung (Centralprojection) der asymptotischen Linien wird als notwendige und hinreichende Bedingung einer solchen die Gleichung gefunden: \[ \frac{\partial}{\partial\varrho_1}\left(\frac{A\frac{\partial C}{\partial\varrho}-B\frac{\partial A}{\partial\varrho_1}}{B^2-AC}\right)= \frac{\partial}{\partial\varrho}\left(\frac{C\frac{\partial A}{\partial\varrho_1}-B\frac{\partial C}{\partial\varrho}}{B^2-AC}\right), \] wo \(A,B,C\) die Coefficienten im Ausdruck des sphärischen Linienelements \[ d\sigma^2=Ad\,\varrho^2-2B\,d\varrho\, d\varrho_1+Cd\varrho_1^2 \] bezeichnen. Auf kleinster Fläche bilden die Linien \(\varrho,\varrho_1\) ein isothermes System, desgleichen ihre sphärische Abbildung, eine Eigenschaft, die den kleinsten Flächen ausschliesslich zukommt. Sucht man die Flächen, deren asymptotische Linien sich auf der Kugel als grösste Kreise abbilden, so findet man Regelflächen.