Sur les lignes géodésiques des surfaces à courbure constante. (Q1538713)

Da jede Fläche mit constanter Krümmung sich auf eine Kugel abwickeln lässt, wobei die geodätischen Linien in grösste Kreise übergehen, und da diese Kugel sich durch Centralprojection von ihrem Mittelpunkte aus auf eine Ebene abbilden lässt, wobei die grössten Kreise sich in Gerade projiciren, so lässt sich jede Fläche mit constanter Krümmung so in die Ebene abbilden, dass die geodätischen Linien der Fläche in Gerade übergehen. Es lässt sich auch umgekehrt zeigen, dass jede Differentialgleichung zweiter Ordnung, durch welche das System der Geraden einer Ebene dargestellt werden kann, zugleich die Differentialgleichung der Krümmungslinien einer Fläche mit constanter Krümmung ist. Der Herr Verfasser folgert hieraus, dass die Aufsuchung der geodätischen Linien bei solchen Flächen auf die Untersuchung einer Differentialgleichung hinauskommt, deren Integral die Constanten nur in linearer Form enthält. Auf dieser Grundlage untersucht nun der Herr Verfasser die Eigenschaften der betreffenden Differentialgleichung und stellt die Operationen fest, welche zur Lösung des Problems erforderlich sind.