Sur les lignes asymptotiques à surfaces gauches. (Q1538727)

Ein Punkt auf gegebener Regelfläche wird bestimmt durch die Strecke \(r\) auf der erzeugenden Geraden und den Bogen der Strictionslinie \(s\) bis zu ihr. Die Gleichung der zweiten asymptotischen Linie ist: \[ (1)\quad 2K\sin\vartheta\frac{dr}{ds}+K^2(\varOmega-K\sin\vartheta\cos\vartheta)r^2+\sin\vartheta\frac{dK}{ds}r+\varOmega=0, \] wo \(\varOmega\) die Krümmung der Strictionslinie, \(\vartheta\) den Winkel zwischen ihr und \(r\), und \(K\) den Distributionsparameter, sämtlich Functionen von \(s\), bezeichnen. Sind die Erzeugenden parallel einer festen Ebene (der Richtebene), so ist der Coefficient von \(r^2\) Null. Ist ausserdem \(k\) constant, so wird Gleichung (1): \[ 2\frac{dr}{ds}+\cos\vartheta=0. \] Für die orthogonalen Trajectorien der Erzeugenden ist \[ \frac{dr}{ds}+\cos\vartheta=0, \] daher halbirt die asymptotische Linie die Strecken \(r\) der letztern. Das Folgende betrifft die Regelflächen \((S)\) unter beiden Annahmen. Ihre Gleichung ist: \[ y\cos(Kz)-x\sin(Kz)=F(z); \] die Gleichung der asymptotischen Linie: \[ \frac{y-F(z)\cos(Kz)}{\sin z}=\frac{x-F(z)\sin(Kz)}{\cos z}=\frac 12\int F(z)Kdz-\frac{F'(z)}{2K}\,. \] Es werden die Fälle untersucht, wo eine asymptotische Linie zweiter Schar gerade ist, dann wo eine derselben die Erzeugenden unter constantem Winkel schneidet; ferner ohne die Annahme einer Richtebene der Fall, wo die Strictionslinie selbst asymptotisch ist, besonders für constantes \(K\), für ein \(K\) gleich der Torsion der Strictionslinie und für eine gerade Strictionslinie.