Solution de la question proposée au concours général en 1883. (Q1538761)

Es wird bewiesen, dass von einem Punkte \(P\), der auf der in \(A\) construirten Normale eines durch \(A\) gehenden elliptischen Paraboloides beliebig angenommen ist, vier weitere Normalen an die Fläche gelegt werden können; die Fusspunkte derselben seien \(B,C,D,E\). Darauf wird die Gleichung der Umkugel dieser Punkte aufgestellt. Wenn \[ \frac{y^2}{p}+\frac{z^2}{q}=2x \] die Gleichung des elliptischen Paraboloides ist, ferner \(\alpha,\beta,\gamma\) die Coordinaten von \(P\) und \(x_0,y_0,z_0\) diejenigen von \(A\) sind, so ist die Gleichung dieser Kugel: \[ x^2+y^2+z^2-\frac{yy_0(p+q+2\lambda_0)}{2p}-\frac{zz_0(p+q+2\lambda_0)}{2q} -x(p+q+x_0)-(p+\lambda_0)(q+\lambda_0)=0, \] wo \(\lambda_0\) aus einer der drei Gleichungen: \[ x_0=\alpha+\lambda_0,\quad y_0=\frac{p\beta}{p+\lambda_0},\quad z_0=\frac{q\gamma}{q+\lambda_0} \] hervorgeht. Darauf wird der Ort der Centra \(J\) aller solchen Kugeln \(S\) gefunden, die durch Verschiebung des Punktes \(P\) auf der Normale \(PA\) hervorgehen, sowie die Fläche, welche hierbei von der Geraden \(PJ\) erzeugt wird. Jener Ort ist eine Gerade, und die Fläche ist ein hyperbolisches Paraboloid.