Berechnung des Inhalts eines Vielecks aus den Coordinaten der Eckpunkte. (Q1538836)

Nach einigen einleitenden geometrischen Betrachtungen, in welchen einfach und mehrfach geschlossene Polygone definirt werden, ferner die Zerlegung eines mehrfach geschlossenen Polygons in einfach geschlossene und die Zerlegung eines einfach geschlossenen Polygons in Dreiecke besprochen ist, wird die Determinante einer geraden Strecke \(AB\) als \[ D_{ab}=\begin{vmatrix} x_a & x_b \\ y_a & y_b \end{vmatrix} \] definirt \([A = (x_a,y_a), B=(x_b, y_b)]\). Hat man nun ein einfach geschlossenes Polygon \[ P_1P_2\dots P_n,\quad [P_1=(x_1,y_1),\quad P_2=(x_2,y_2),\dots], \] so ergiebt sich der Inhalt \(F\) des Polygons aus der Formel: \[ 2F = D_{12}+D_{23}+\cdots +D_{n-1,n}+D_{n,1}. \] Dieselbe Formel ist auch beim mehrfach geschlossenen Polygon anwendbar, wobei \(F\) die Summe der einfach geschlossenen Polygone bedeutet, in die das mehrfach geschlossene sich zerlegen lässt. Der Inhalt eines jeden solchen einfach geschlossenen Polygons ist dabei positiv oder negativ zu nehmen, je nachdem sein Umfang die rechtläufige oder rückläufige Richtung hat.