Die Rotationsflächen, welche bei vorgeschriebener Flächengrösse ein möglichst grosses oder kleines Volumen enthalten. (Q1539005)

Da die beiden in den vorliegenden Inaugural-Dissertationen (siehe auch JFM 19.0831.01) behandelten Probleme analytisch im wesentlichen übereinstimmen, und da auch der speciellere Zweck der beiden Arbeiten ein gleicher ist, so können wir über sie gemeinsam berichten. Sucht man die Meridiancurve zwischen zwei gegebenen Punkten der Rotationsoberfläche, welche bei gegebenem Volumen die kleinste Oberfläche oder bei gegebener Oberfläche das grösste Volumen hat, so zeigt sich, dass dieselbe eine gewisse Curve sein kann, welche sich durch elliptische Integrale zweiter Gattung darstellen lässt, und welche, wie Delaunay gefunden hat, aufgefasst werden kann als Bahn des Brennpunktes eines Kegelschnittes, der auf der Rotationsaxe rollt, ohne zu gleiten. Ist im speciellen Falle der rollende Kegelschnitt eine Parabel, so geht die Rollcurve in eine Kettenlinie über. Deswegen bezeichnet Herr Howe nach dem Vorgange des Herrn Lindelöf die Meridiancurven allgemein als elliptische oder hyperbolische Kettenlinien, von denen die ersteren die Form von Wellenlinien, die letzteren diejenige von Schleifenlinien haben. Beide gehen in Halbkreisbogen über, wenn die kleine, bezw. die imaginäre Halbaxe der rollenden Ellipse oder Hyperbel Null wird. Herr Hormann nennt die entsprechenden Rotationsflächen der elliptischen Kettenlinien Unduloide, die der hyperbolischen Nodoide. Es zeigt sich aber, dass die gefundenen Curven, welche die gegebenen Punkte verbinden, nicht immer die Minimal- respective Maximalbedingung erfüllen. -- [Auch bei diesem Problem ist, wie Referent einschalten möchte, zu unterscheiden, ob man rein analytisch den Maximal- oder Minimalwert des einen der beiden Integrale sucht, während das andere constant ist, in welchem Falle man auch negative Werte der Ordinate, also negative Oberflächenteile und Schleifen, welche negative Volumenteile bedingen, zulassen muss, oder ob man der gewöhnlichen Vorstellung entsprechend negative Ordinaten und negative Oberflächenteile sowie Schleifen und negative Volumenteile ausschliessen will. Im ersteren Falle kann man die Punkte so verbinden, dass die Rotationsfigur bei gegebenem Volumen jede beliebige Oberfläche zwischen \(-\infty\) und \(+\infty\) annimmt, und bei gegebener Oberfläche jedes beliebige Volumen. Es existirt also dann kein absolutes Minimum oder Maximum, und es braucht auch kein relatives zu existiren. Im letzteren Fall treten beschränkende Bedingungen hinzu, welche unstetige Lösungen zur Folge haben können, aber es muss ein absolutes Minimum oder Maximum existiren. Man vergleiche darüber das vorige Referat, JFM 19.0829.01.] -- Beide Verfasser beschäftigen sich nun nach dem Vorgange des Herrn Weierstrass mit der folgenden Frage. Wenn eine der Minimal-, respective Maximalbedingung entsprechende Meridiancurve und auf derselben ein Punkt gegeben ist, wie weit darf man den zweiten Punkt auf der Curve abrücken, damit der dazwischen liegende Bogen wirklich ein Minimum, respective Maximum liefert? Die äusserste Grenzlage für den zweiten Punkt ist nach der Bezeichnung des Herrn Weierstrass der dem ersten conjugirte Punkt. Er ist der Coincidenzpunkt der Curve mit der durch den ersten Punkt gelegten unendlich nahen Curve. Es handelt sich also um die Aufsuchung dieses conjugirten Punktes. Herr Hormann benutzt zu seinen sehr ausgedehnten Rechnungen die Weierstrass'schen \(\wp\) und \(\sigma\)-Functionen, Herr Howe bedient sich der Legendre'schen Bezeichnungen. Beide Verfasser betrachten das Problem auch physikalisch mit Hülfe der Plateau'schen Versuche. Der Arbeit des Herrn Howe ist am Schluss ein kurzer Abschnitt zur Geschichte des Problems zugefügt, welcher interessante Notizen enthält.