Erweiterung zweier Sätze auf \(n\) Dimensionen. (Q1539011)

Der erste der hier behandelten Sätze ist der von Bermann in Schlömilch Z. XXXI. 381 (F. d. M. XVIII. 1886. 249, JFM 18.0249.01) über die Berührungsebene einer Fläche angegebene. Derselbe lautet in allgemeiner Fassung: ``Das \(n\)-dehnige \((n+1)\)-Eck, begrenzt von \(n(n-1)\)-dehnigen \(n\)-Ecken, deren eins eine feste krumme \((n-1)\)-Dehnung berührt, während die übrigen in festen linearen \((n-1)\)-Dehnungen liegen, ist bei variirendem Berührungspunkt ein Minimum nur dann, wenn der Berührungspunkt Schwerpunkt jenes berührenden \(n\)-Ecks ist''. Der zweite Satz betrifft das von Routh (Quart. Journ. XXI. 281, F. d. M. XVIII. 1886. 260, JFM 18.0260.01) für das Dreieck, Viereck, Tetraeder und Pentaeder ausgewertete Integral \[ \int z^n dV. \] Dasselbe wird zuerst für das \(n\)-dehnige \((n+1)\)-Eck, sodann für das \((n+2)\)-Eck berechnet, welches letztere Gebilde als Summe von zwei Gebilden der ersteren Art betrachtet wird, aber auch durch Projection des \((n+1)\)-dehnigen \((n+2)\)-Ecks auf eine lineare \(n\)-Dehnung erhalten werden kann.