Sulle superficie del \(n^{\mathrm mo}\) ordine immerse nello spazio di \(n\) dimensioni. (Q1539017)

Diese Arbeit enthält eine ausführliche Discussion derjenigen Oberflächen \(n^{\mathrm ter}\) Ordnung (\(F_2^n\)) im \(n\)-dimensionalen Raume \((S_n)\), welche keinem Raume mit niedrigerer Dimensionenzahl angehören. Eine solche Oberfläche heisst ``von der ersten Art'', wenn ihre Schnittcurve mit einem \(S_{n-1}\) vom Geschlechte 1 ist. Diese Festsetzung geschieht im Anschluss an die vom Verf. in seiner Arbeit ``Intorno ad una proprietà fondamentale'' (s. ob. S. 840 (JFM 19.0840.02)) aufgestellte Definition einer Oberfläche \(p^{\mathrm ter}\) Art. Und die vom Verf. in einer früheren Arbeit (F. d. M. XVII. 1885. 514, JFM 17.0514.01) behandelten Flächen \(n^{\mathrm ter}\) Ordnung im \((n+1)\)-dimensionalen Raume erscheinen hiernach als Flächen \(0^{\mathrm ter}\) Art. -- Nach einem einleitenden Satze über die eindeutige Projection einer \(F_2^n\), auf den dreidimensionalen Raum aus \(n-3\) beliebig auf der Fläche gewählten Projectionscentren werden in der vorliegenden Abhandlung zuerst erörtert die Tangentialebenen an eine solche Fläche, welche nebst ihren Berührungspunkten durch Projection auf den dreidimensionalen Raum dieselbe Eigenschaft in Bezug auf eine Fläche dritter Ordnung erhalten. Dieser Zusammenhang zwischen den \(F_2^n\) und den Flächen dritter Ordnung gestattet es, die Einteilung der letzteren auf die ersteren zu übertragen. Hierbei ergiebt sich, dass die kubische Kegelfläche Projection einer Kegelfläche, und die Regelfläche Projection einer Regelfläche ist, während für \(n > 9\) alle hier betrachteten \(F_2^n\) Regelflächen sind. Auch hinsichtlich der vorhandenen Doppelpunkte findet zwischen beiden Arten von Flächen ein Entsprechen statt. Der Verfasser behandelt hierauf speciell die Regelflächen, die Geraden auf den übrigen Flächen \(n^{\mathrm ter}\) Ordnung und die Darstellung der letzteren auf einer Ebene. Weiter werden untersucht die Projectionen der \(F_2^n\) von einer Tangentenebene aus, die osculirenden 5-dimensionalen Räume, und speciell die Fläche achter Ordnung und zweiter Art im 8-dimensionalen Raume. Während bis hierher die Methode der Projection sich besonders fruchtbar erwies, geht der Verfasser nunmehr dazu über, die \(F_2^n\) als Schnitte von 3-dimensionalen Mannigfaltigkeiten zu betrachten, und schliesst mit Aufzählung einer Reihe von Oberflächen des 3-dimensionalen Raumes, welche als Projectionen specieller \(F_2^n\) (für verschiedene bestimmte Werthe von \(n\)) betrachtet werden können.