Sur l'équilibre d'un fil flexible et inextensible. (Q1539138)

Vervollständigung und Beweis eines in C. R. XCVI. 688 (F. d. M. XV. 1883. 794, JFM 15.0794.01) ausgesprochenen Satzes. Wenn eine Kräftefunction \(U\) existirt, so können die Differentialgleichungen für das Gleichgewicht eines Fadens in die Gestalt gebracht werden: \[ (1) \quad \begin{cases} \frac{d}{ds} \left( T \frac{dx}{ds} \right) + \frac{\partial U}{\partial x}=0,\quad \frac{d}{ds} \left( T \frac{dy}{ds} \right) + \frac{\partial U}{\partial y}=0, \\ \frac{d}{ds} \left( T \frac{dz}{ds} \right) + \frac{\partial U}{\partial z}=0, \end{cases} \] woraus sofort \(T\) (die Spannung) \(= - (U+h)\) folgt. Der betreffende Satz lautet: Man betrachte die partielle Differentialgleichung \[ (2)\quad \left( \frac{\partial \varTheta}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial \varTheta}{\partial y} \right)^2 + \left( \frac{\partial \varTheta}{\partial z} \right)^2 = (U+h)^2, \] welche \(\varTheta\) als Function von \(x,y,z\) definirt; nimmt man an, dass ein vollständiges Integral \(\varTheta(x,y,z;\alpha,\beta,h)\) von (2) gefunden ist, worin die beiden willkürlichen Constanten \(\alpha\) und \(\beta\) von \(h\) und von der immer zu \(\varrho\) zusetzbaren Constante verschieden sind, so sind die Integrale von (1): \[ \frac{\partial \varTheta}{\partial \alpha}=\alpha',\quad \frac{\partial \varTheta}{\partial \beta}=\beta',\quad \frac{\partial \varTheta}{\partial h}=s+h', \] wenn \(\alpha',\beta',h'\) neue Constanten bezeichnen. Der Beweis schliesst sich ganz eng an Jacobi's Vorlesungen über Dynamik an.