Ueber ein Bewegungsproblem. (Q1539201)

``Ein schwerer Körper gleitet mit seiner ebenen Basis reibungslos auf einer festen schiefen Ebene. Der Körper besitzt überdies eine Höhlung von gegebener geometrischer Gestalt, an deren Wandfläche ein schwerer Punkt ebenfalls ohne Reibung herabfällt. Es handelt sich darum, die gleichzeitige Bewegung des Körpers und des Punktes zu bestimmen''. Dabei ist vorausgesetzt, dass der Körper nicht umkippen darf, und dass der Punkt auf der Höhlenwand zu bleiben genötigt ist. Der Verfasser führt die Aufgabe auf die Integration dreier partiellen Differentialgleichungen zurück, von denen er, dem Flächensatze und dem Satze der lebendigen Kraft entsprechend, zwei Integrale aufstellt. Hieraus folgt, dass die Aufgabe auf eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung mit zwei unabhängigen Veränderlichen zurückkommt, zu deren vollständiger Lösung die Kenntnis einer von ihr unabhängigen Lösung einer gewissen anderen, linearen partiellen Differentialgleichung genügt, d. h. in diesem Falle lässt sich die Aufgabe mit Hülfe von algebraischen Operationen und blossen Quadraturen vollständig lösen. Wird z. B. die Wand der Körperhöhlung von einer Rotationsfläche gebildet, deren Axe senkrecht zur ebenen Basis des Körpers ist und durch seinen Schwerpunkt geht, so ist dieses Problem vollständig lösbar; dagegen vermag man die Bewegung eines schweren Punktes ohne Reibung und bei beliebiger Richtung der Anfangsgeschwindigkeit auf der Wand des nicht mehr beweglichen, sondern auf der schiefen Ebene festgeschraubten Körpers noch nicht genau zu bestimmen. Ferner wird die allgemeine Aufgabe immer lösbar, wenn sich die Körperhöhlung auf eine blosse Rinne oder auf einen Kanal reducirt.