Ueber die contractio venae bei spaltförmigen und kreisförmigen Oeffnungen. (Q1539251)

Der Verfasser kritisirt zunächst die früheren Versuche, den sogenannten Ausflusscoefficienten theoretisch zu ermitteln. Er bespricht nach einander die Arbeiten von Bidone (Mém. di Torino XXXIV. 1830), Bayer (Crelle, Journal der Baukunst XXV. 1847), Navier (Leçons lithographiées de l'Ecole des ponts et chaussées, 1829), sowie von Boussinesq (C. R. LXX., cf. F. d. M. II. 1869-1870. 738, JFM 02.0738.02) und erörtert, weshalb die Resultate der zuerst genannten drei Arbeiten, die sich sämtlich auf specielle Hypothesen über die Natur der Flüssigkeitsbewegung in der Nähe der Oeffnung stützen, unhaltbar sind, während das Urteil über die Arbeit von Boussinesq dahin ausfällt, dass ihr Ergebnis die Herstellung mehr oder minder brauchbarer Interpolationsformeln für die locale Ausflussgeschwindigkeit sei, dass damit aber nicht der Ausflusscoefficient theoretisch bestimmt werde. Während diese Versuche als misslungen zu betrachten sind, ergiebt sich eine befriedigende Ableitung des in Rede stehenden Coefficienten für einen speciellen Fall aus der Helmholtz-Kirchhoff'schen Theorie der Flüssigkeitsstrahlen. Es lässt sich nämlich zeigen, dass die Bedingungen, von welchen das Geschwindigkeitspotential einer schweren, durch eine sehr schmale spaltförmige Oeffnung im Boden eines Gefässes ausfliessende Flüssigkeit abhängt, in der Nähe der Oeffnung identisch sind mit den Bedingungen, welche in einem von Kirchhoff (Mechanik, Vorl. 22, \(\S\) 3) behandelten Beispiele die stationäre Bewegung einer Flüssigkeit, auf die keine Kräfte wirken, in einem Raum von zwei Dimensionen bestimmen. Herr Kötter reproducirt das erwähnte Kirchhoff'sche Problem in modificirter Darstellung und findet daraus für den Ausflusscoefficienten einer spaltförmigen Oeffnung den Wert \[ \frac{\pi}{2+\pi}=0,\;611\dots, \] ein Resultat, das, wie auch erwähnt wird, zuerst Lord Rayleigh (Philosoph. Mag. (5)11. 1876) aus den Kirchhoff'schen Formeln abgeleitet hat. Zum Schluss ermittelt Herr Kötter für sehr kleine kreisförmige Oeffnungen eine obere und untere Grenze, zwischen denen der Ausflusscoefficient liegt. Zu dem Zwecke stellt er die Gleichung auf, welche ausdrückt, dass die Resultante der äusseren Kräfte, die auf einen gewissen an der Oeffnung liegenden Teil der Flüssigkeit während der Zeit \(dt\) wirken, gleich ist dem während derselben Zeit erfolgenden Zuwachs des Bewegungsmomentes. Er vereinfacht ferner die Gleichung durch Vernachlässigung von Gliedern, die sehr klein gegen die Grösse der Oeffnung sind. Auf der rechten Seite der so vereinfachten Gleichung steht das Glied \[ \text{(a)}\quad \frac 12 \varepsilon \int d \omega.V^2, \] worin \(\varepsilon\) die Dichtigkeit, \(d \omega\) ein Element der die Oeffnung umgebenden festen Wand, \(V\) die Geschwindigkeit an der Stelle \(d \omega\) bedeutet. Lässt man dies Glied fort, so ergiebt die in Rede stehende Gleichung unmittelbar, dass der Ausflusscoefficient \(\alpha\) grösser als \(\frac 12\) ist. Behält man das Integral (a) bei und ersetzt darin \(V\) durch einen kleineren Wert, der sich aus dem Boussinesq'schen Ausdruck für das Geschwindigkeitspotential einer durch eine kreisförmige Oeffnung ausfliessenden Flüssigkeit ergiebt, so folgt: \[ \alpha>\tfrac 12+\tfrac 18 \alpha^2,\quad \text{d. h.}\quad \alpha>0,536. \] Durch Entwickelung von \(V\) nach fallenden Potenzen des Abstands vom Mittelpunkte der Oeffnung ergiebt sich andrerseits eine obere Grenze \[ \alpha<0,71. \] Die dabei benutzte Entwickelung von \(V\) folgt ebenfalls aus der Formel von Boussinesq.