Théorie nouvelle de l'aimantation par influence, fondée sur la thermodynamique. (Q1539424)

Die drei ersten Noten (JFM 19.1121.02; JFM 19.1121.03; JFM 19.1121.04) enthalten nur die Mitteilung der hauptsächlichsten Resultate, welche der Verfasser in der letzten ausführlichen Abhandlung entwickelt. a) Das Potential eines teils aus permanenten Magneten, teils aus Magneten ohne Coërcitivkraft bestehenden Systems in jedem äussern oder inneren Punkt \(p\equiv(x, y, z)\) ist, wenn \(A, B, C\) die Componenten des magnetischen Moments der Volumeneinheit bezeichnen, bekanntlich \[ (1) \quad V= \int \left( A'\frac {d\frac 1r}{dx'}+\dotsm \right) d\tau' =-\int\left( \frac{dA'}{dx'}+\frac{dB'}{dy'}+\frac{dC'}{dz'} \right) \frac{d\tau'}{r}-\int (A'\cos n'x +\dotsm ) \frac { d\sigma'}{r}, \] wo \(n\) die nach innen gezogene Normale der Oberfläche bezeichnet. Die innere potentielle magnetische Energie des Systems ist \[ (2) \quad W=\tfrac 12 \int \left(A\;\frac {dV}{dx}+\dotsm \right) d\tau. \] Bezeichnen \(U\) und \(S\) die Energie und Entropie des Systems, \(P\) das Potential der äussern Kräfte, so nennt der Verfasser bekanntlich (F. d. M. XVII. 1885. 1037 ff., JFM 17.1037.03) den Ausdruck \(U-TS+P\) das thermodynamische Potential des Systems, die Function \[ F=U-TS \] das ``innere thermodynamische Potential des Systems''. Bei rein mechanischen Bewegungen der Teile eines Systems ist, wie der Verfasser zunächst beweist, die von den innern Kräften geleistete Arbeit \(A_i=-\delta F\); da nun andrerseits im vorliegenden Falle \(A-i=-\delta W\) ist, so ist \(F=W+F'\), wo \(F'\) nur vom Zustand der magnetischen Elemente, aber nicht von ihrer Lage abhängt. Für ein einzelnes magnetisches Element \(d\tau\) in einem isotropen Körper kann nun \(F'\) abhängen von seinem Volumen und seiner Form, seinem magnetischen Moment und der Lage seiner magnetischen Axe zu seiner Grenzfläche, sowie von gewissen Parametern \(\alpha, \alpha_1, \dots\), welche seinen Zustand unabhängig von seinem magnetischen Zustand bestimmen. Aendern wir nur das magnetische Moment \(Md\tau\) und die Lage der magnetischen Axe, so können wir die entsprechende Aenderung \(\delta F'\) so bestimmen, als ob das Element \(d\tau\) allein vorhanden wäre, da \(\delta F'\) nur vom Anfangs- und Endzustand abhängt und durch Entfernung aller andern Elemente ins Unendliche \(F'\) nicht geändert wird; es ist also \(\delta F'= d\tau(\lambda\delta A+\mu\delta B+\nu \delta C)=d\tau (m\delta M+a\delta A+b\delta B)\), wo \(m, a, b\) von \(M, A, B\) und den \(\alpha\) abhängen, dagegen von der Form des Elements unabhängig sind. Nehmen wir nun \(d\tau\) als eine und denken uns ohne Aenderung von \(M\) die Axe gedreht, einmal innerhalb der Kugel, dann durch Drehung der ganzen Kugel, so hat beidemal \(\delta F'\) denselben Wert; da aber im zweiten Falle \(\delta F'=0\) ist, so muss \(a=b=0\) sein, folglich \(\delta F'=m\delta M d\tau =f(M, \alpha, \alpha_1, \ldots) \delta Md\tau.\) Setzen wir also \[ \varphi(M, \alpha, \alpha_1,\ldots)= \int_0^M f(M, \alpha, \alpha_1, \ldots) dM, \] so wird für das ganze System \[ F'=\int \varphi(M, \alpha, \alpha_1\ldots)d\tau+F'', \] wo \(F''\) von dem magnetischen Zustand unabhängig ist. Da aber für \(M=0\) auch \(\varphi=0\) und \(W=0\), also \(F=F''\) ist, so ist \[ F''=F_0=U_0-TS_0, \] wo \(F_0\) den Wert von \(F\) im unmagnetischen Zustand bezeichnet. Also wird schliesslich \[ (3) \quad F=F_0+W+\int \varphi(M)d\tau, \] wo \(\varphi(M)\) eine für \(M=0\) verschwindende Function des magnetischen Moments \(M\) der Volumeneinheit ist, welche ausserdem noch von den den sonstigen Zustand bestimmenden Parametern \(\alpha\) abhängen kann. b) Lässt man in einem Element \(d\tau\) die Momente um \(\delta A, \delta B, \delta C\) wachsen, so muss beim magnetischen Gleichgewicht \(\delta F=0\) sein. Nun ist nach Gleichung (2) \[ \delta W=\tfrac 12 \,d\tau\left(\delta A \;\frac{dV}{dx}+\dotsm\right) +\tfrac 12\, \int\left(A'\;\frac{d\delta V'}{dx'}+\dotsm\right) d\tau', \] wo \[ V'=\int \left(A\;\frac{d\frac 1r}{dx}+\dotsm\right) \delta \tau, \quad \delta V'=d\tau \left(\delta A\;\frac{d\frac 1r}{dx}+\cdots\right) \delta\tau, \] also \[ \delta W=\tfrac 12\, d\tau\left(\alpha A\;\frac{dV}{dx}+\dotsm\right) +\tfrac 12 \,d\tau \left[\delta A\;\frac{d}{dx}\;\int \left( A'\;\frac{d\frac 1r}{dx'}+\dotsm \right) d\tau'+\dotsm\right]=\left(\frac{dV}{dx}\;\delta A+\dotsm \right) d\tau. \] Ferner \[ \delta \int \varphi(M) d\tau= \delta \varphi d\tau= \frac{d\varphi}{dM}\;\delta M d\tau= \frac 1M\;\frac{d\varphi}{dM}\;(A\delta A+\dotsm) d\tau. \] Folglich geht die Gleichung \(\delta F=0\), da \(\delta A, \delta B, \delta C\) von einander unabhängig sind, über in \[ \frac{dV}{dx}+\frac AM\;\frac{d\varphi}{dM}=0 \text{ etc., } \] woraus, wenn man \(\psi (M)=\frac{M}{\frac{d\varphi}{dM}}\) setzt, \[ (4) \quad a=-\psi(M)\;\frac{dV}{dx} \text{ etc.,} \] oder, da hiernach \[ M=\sqrt{A^2+B^2+C^2}\text{ eine Function von } R=\sqrt{\left( \frac{dV}{dx} \right)^2+\dotsm} \text{ ist, } \] \[ (4^{\text{a}}) \quad A=-\chi(R)\frac{dV}{dx}\;\text{ etc.,} \] wo \(\chi(R)\) eine noch von dem sonstigen Zustand der magnetischen Elemente abhängende Function der resultirenden Kraft \(R\) ist. Dies sind die bekannten Kirchhoff'schen Gleichungen der Magnetisirung; je nachdem \(\psi(M)\) (oder \(\chi(R)\)) positiv oder negativ ist, ist das Medium magnetisch oder diamagnetisch. c) Zur Bestimmung der Function \(V\), worauf nach Gleichung (4) oder \((4^{\text{a}})\) das Problem der Magnetisirung zurückgeführt ist, haben wir im äussern Raum die Gleichung \(\varDelta V =0\), in den permanenten Magneten, deren Momente \(A_0, B_0, C_0\) sein mögen, nach Gleichung (1) \[ (5) \quad \frac{1}{4\pi}\;\varDelta V=\frac{dA_0}{dx}+\dotsm, \] und in einem inducirten Magneten nach Gleichung \((4^{\text{a}})\) \[ (5^{\text{a}}) \quad \left(\frac{1}{4\pi}+\chi(R)\right) \varDelta V+ \frac{d\chi}{dR}\left(\frac{dR}{dx}\;\frac{dV}{dx}+\dotsm \right) +{}^s\sum \frac{d\chi}{d\alpha_s} \left(\frac{d\alpha_s}{dx}\frac{dV}{dx}+\dotsm \right)=0. \] Ferner an der Grenzfläche eines inducirten und eines permanenten Magneten \[ (6) \quad \left(\frac{1}{4\pi}+\chi(R)\right)\frac{dV}{dn}-\frac{1}{4\pi}\;\frac{dV_0}{dn}=-(A_0\cos nx+\dotsm), \] worin, wenn das erste Medium unmagnetisch ist, \(\chi_1=0\) zu setzen ist; und an der Grenzfläche zweier inducirten Magnete \[ (6^{\text{a}}) \quad \left(\frac{1}{4\pi}+\chi(R)\right)\;\frac{dV}{dn}- \left(\frac{1}{4\pi}+\chi_1(R)\right)\frac{dV_1}{dn}=0, \] worin, wenn das zweite Medium unmagnetisch ist, \(\chi_1=0\) zu setzen ist. Der Verfasser weist noch nach, dass für einen magnetischen Körper diese Gleichungen immer eine und nur eine Lösung zulassen, und dass diese einem stabilen Magnetirungs-Zustande entspricht. Dagegen bleibt für einen diamagnetischen Körper die Eindeutigkeit der Lösung unentschieden. Nach der Theorie von Poisson soll die Function \(\psi(M)\) in Gleichung (4) von \(M\) unabhängig sein, \(\psi(M)=C(\alpha,\alpha_1,\ldots)\); daraus würde \(\frac{d\varphi}{dM}=\frac MC\) folgen, also, da nach a) \(\varphi(M)\) mit \(M\) verschwindet, \(\varphi(M)=\frac{M^2}{2C}.\) Für schwach magnetische Körper ist nach der Erfahrung die Annahme von Poisson angenähert richtig; für solche Körper kann man also \[ \varphi(M)=\frac{M^2} {2\vartheta(M, \alpha,\alpha_1,\ldots)} \] setzen, wo \(\vartheta\) mit abnehmendem \(M\) sich einem Grenzwert \(C(\alpha, \alpha_1, \ldots)\) nähert. d) Verschiebt sich ein inducirter Magnet vom Volumen \(\tau\), dem Potential \(Q\) und den Momenten \(A, B, C\) in einem permanenten Magnetfelde vom Potential \(P\), so ist die Aenderung von \(F\) durch die Aenderung der Momente in Folge der Gleichgewichts-Bedingungen Null, und die directe Aenderung von \(F\) durch die Bewegung ist gleich der durch die Aenderung von \(P\) eintretenden Aenderung von \(\int \left( A\frac{dP}{dx}+\dotsm \right)d\tau, \) wo \[ A=-\psi(M)\;\frac{d(P+Q)}{dx}\cdot \] Also, wenn man \(\left(\frac{dP}{dx}\right)^2+\dotsm=R_0^2\) setzt, \[ \begin{aligned} (7) \quad-\delta F& =\delta \int \psi(M)\left[R_0^2+\left( \frac{dQ}{dx} \frac{dP}{dx}+\dotsm\right) \right] d\tau \\ & =\int \psi(M)\delta (R_0^2)d\tau+\int \psi(M)\left[\frac{dQ}{dx}\delta \left( \frac{dP}{dx}\right)+\dotsm\right] d\tau. \end{aligned} \] Der Magnet bewegt sich nun so, dass \(-\delta F>0\) ist; für den Fall, dass er sehr klein ist, vernachlässigt W. Thomson (Reprint, 2. ed. p. 514) \(\frac{dQ}{dx}\) und erhält dadurch den Satz, dass sich der Körper, je nachdem er magnetisch oder diamagnetisch ist, nach Punkten grösserer oder kleinerer Kraft \(R_0\) bewegt. Da nun \(R_0\) kein Maximum, wohl aber ein Minimum haben kann, so würde folgen, dass ein magnetischer Körper in einem permanenten Magnetfelde keine stabile Gleichgewichtslage haben kann, wohl aber ein diamagnetischer Körper. Dagegen beweist der Verfasser, dass weder ein diamagnetischer noch ein magnetischer Körper in einem Magnetfeld eine stabile Gleichgewichtslage haben kann, da es immer Verschiebungen giebt, für welche \(\delta^2 F<0\) ist; der Widerspruch dieses Resultats mit dem obigen Satz von Thomson erklärt sich daraus, dass die Vernachlässigung von \(Q\) in Gleichung (7) nicht gestattet ist; denn nach Gleichung \((6{\text{a}})\) ist an der Oberfläche des Körpers \[ \left( \frac{1}{4\pi}+\psi(M)\right) \frac{dQ}{dn}-\frac{1}{4\pi}\;\frac{dQ_1}{dn}=-\psi(M)\frac{dP}{dn}, \] also \(\frac{dQ}{dx}\) etc. von der Ordnung \(\psi(M)\frac {dP}{dx}\), mithin das zweite Glied in Gleichung (7) von denselben Ordnung wie das erste, es darf daher nicht gegen dieses vernachlässigt werden. e) Der Verfasser beweist noch folgenden Satz: Ist ein schwach magnetischer oder diamagnetischer Körper in einem Magnetfelde an einem Faden aufgehängt, so dass er sich nur um diesen drehen kann, so besitzt er in beiden Fällen dieselben Gleichgewichtslagen; aber die stabilen Gleichgewichtslagen des einen sind labile des andern. f) Ferner bestimmt der Verfasser die in einem magnetischen System erzeugte Wärme. Wird ein permanenter Magnet aus einem permanent magnetischen Felde ins Unendliche verschoben, so wird dadurch eine Wärmemenge erzeugt gleich dem anfänglichen Potential des Feldes auf den Magneten. Hat dagegen der verschobene Magnet keine Coërcitivkraft, so wird Wärme verbraucht, wenn die Magnetisirungsfunction \(\psi(M)\) mit wachsender Temperatur abnimmt oder ungeändert bleibt, während im entgegengesetzten Falle das Zeichen der Wärmeproduction unbestimmt bleibt; dies stimmt nur teilweise mit einem von W. Thomson aufgestellten Satze überein. g) Schliesslich berechnet der Verfasser noch als thermodynamische Potential eines aus elektrischen und magnetischen Körpern bestehenden Systems, sowie die Gleichgewichts-Bedingungen eiens solchen. Ferner berechnet er dasselbe für einen anisotropen Magneten; nimmt man die Krystallaxen eines magnetischen Elements zu Coordinatenaxen \((\xi, \eta,\zeta)\) und bezeichnet mit \(\mathfrak{A, B, C}\) die magnetischen Momente nach diesen Axen, so ergiebt sich \[ {\mathfrak A}=c_{11}\;\frac{dV}{d\xi}+c_{12}\;\frac{dV}{d\eta}+c_{13}\;\frac{dV}{d\zeta }\text{ etc.,} \] wo die Coefficienten \(c\) von den \(\mathfrak{A, B, C}\) abhängen.