Osservazioni sopra le relazioni che possono aver luogo identicamente fra le operazioni invariantive. (Q1539733)

Wegen der Begriffe und Bezeichnungen vergleiche man das Referat über eine frühere Arbeit des Verfassers (F. d. M. XVIII. 1886. 92, JFM 18.0092.01). Die gegenwärtige Note beschäftigt sich mit dem allgemeinen Differentiationssymbol \[ \varDelta= F(D_1,D_2,\dots,D_{k^2}),\quad \left( D=p_1\;\frac{\partial}{\partial q_1} + p_2\;\frac{\partial}{\partial q_2}+\cdots \right), \] wo \(k\) die Zahl der Variabelnreihen und \(F\) ein rationales und ganzes Aggregat der elementaren Differentiationsprocesse \(D_1, D_2,\dots, D_{k^2}\) bedeutet. Das Symbol \(\varDelta\) ist offenbar nicht bloss durch den algebraischen Charakter der ganzen Function \(F\), sondern überdies noch durch die Reihenfolge der Factoren \(D_1, D_2,\dots,D_{k^2}\) in den einzelnen Gliedern von \(F\) bedingt. Wie es sich zunächst zeigt, ist es stets und zwar auf \(k!\) verschiedene Arten möglich, aus den \(k^2\) elementaren Operationen ein System von \(k+1\) Operationen von der Eigenschaft auszuwählen, dass sich durch dieselben eine jede der obigen elementaren Operationen ausdrücken lässt. Der niedrigste Grad in \(D_1, D_2,\dots,D_{k^2}\), auf welchen sich das Aggregat \(F\) vermöge identischer Umformungen zurückführen lässt, heisst der Grad des Operationssymboles \(\varDelta\). Der Verfasser beweist nun folgende Theoreme: Ist \[ \varDelta'=F'(D_1,D_2,\dots,D_{k^2}) \] ein Operationssymbol, welches sich von \(\varDelta\) nur durch die Reihenfolge der Factoren \(D_1, D_2, \dots, D_{k^2}\) in den Gliedern des Aggregates \(F'\) unterscheidet, so besitzt \(\varDelta-\varDelta'\) stets einen niederen Grad als \(\varDelta\) oder \(\varDelta'\). Damit der Grad \(\lambda\) des Aggregates \(F\) in Bezug auf \(D_1, D_2,\dots, D_{k^2}\) sich nicht mehr durch identische Umformungen erniedrigen lasse, ist es notwendig und hinreichend, dass \(F\) auch dann vom Grade \(\lambda\) bleibe, wenn man für \(D_1, D_2, \dots, D_{k^2}\) ebensoviele unabhängige Variable einsetzt und \(F\) als algebraische Function derselben betrachtet. Verschwindet für zwei beliebige Operationssymbole \(\varDelta_1\) und \(\varDelta_2\) das Product \(\varDelta_1\varDelta_2\), so ist notwendigerweise wenigstens eines der beiden Operationssymbole \(\varDelta_1\) oder \(\varDelta_2\) identisch gleich Null. Zwischen den Potenzen ein und derselben Operation \(\varDelta\) kann niemals eine lineare Identität mit constanten Coefficienten bestehen.