Darstellung der rationallen ganzen Invarianten der Binärform sechster Ordnung durch die Nullwerte der zugehörigen \(\vartheta\)-Functionen. (Q1539746)

Eine Darstellung der Invarianten der Binärform sechster Ordnung durch die Nullwerte der zugehörigen \(\vartheta\)-Functionen wurde bisher nur für Doppelverhältnisse (von Rosenhain), für gewisse irrationale Invarianten, welche mit den vierten Potenzen der geraden \(\vartheta\)-Nullwerte proportional sind, und für die Discriminante (von Thomae) geleistet. Da nun aber die Kenntnis der Ausdrücke aller Invarianten in den Nullwerten der zugehörigen \(\vartheta\)-Functionen für die Theorie der hyperelliptischen Modulfunctionen von Wert ist, so hat es der Verfasser unternommen, dieselben zu berechnen. (Die Resultate wurden bereits in den Göttinger N. 418-421 mitgeteilt; vergl. das vorangehende Referat (JFM 19.0122.01).) Zu diesem Zwecke wird zuerst für die Binärform sechster Ordnung mittels einer linearen Transformation die transcendente Normalform \[ f(x_1,x_2)=\prod_i(\vartheta_i^{(1)}y_1+ \vartheta_i^{(2)} y_2) = F(y_1,y_2) \] hergestellt, in welcher \[ \vartheta_i^{(\alpha)} = \left( \partial \;\frac{\vartheta_i (v_1,v_2,\tau_{11},\tau_{12},\tau_{22}) }{ \partial v_\alpha} \right)_{v_1=0,v_2=0} \] ist, und das Product sich auf die sechs ungeraden \(\vartheta\)-Functionen erstreckt. An dieser Form werden nun die einzelnen Invarianten berechnet, wobei sich das nach Analogie der elliptischen Functionen unerwartete Resultat ergiebt: Nicht alle ganzen rationalen Invarianten lassen sich als ganze Functionen der \(\vartheta\)-Nullwerte ausdrücken, sondern die Invariante zweiten Grades \(A\) (nach Salmon's Bezeichnung in seinen Vorlesungen über die Algebra der linearen Transformation) ist eine gebrochene Function der \(\vartheta\)-Nullwerte, und erst das Product von \(A\) in die Discriminante wird eine ganze Function. Ferner lässt sich von den invarianten vierten und sechsten Grades nur je eine als ganze Function darstellen, nämlich \[ B^*= A^2-100B,\quad C^*=A^3-300 AB+250 C. \] Es sind dies gerade diejenigen beiden Invarianten, deren Verschwinden zusammen mit dem der Discriminante die notwendige und hinreichende Bedingung dafür ausdrückt, dass \(f\) eine dreifache Wurzel besitzt. Wie \(A\) so verhält sich auch die schiefe Invariante \(E\), und erst das Product \(\varepsilon(\sqrt{\varDelta})^3\) ist durch eine ganze Function der \(\vartheta\)-Nullwerte ausdrückbar. Daraus folgt, dass es angemessener ist, statt der Fundamentalinvarianten von Salmon und Clebsch die Invarianten \[ A, B^*, C^*, \varDelta, E \] zu Grunde zu legen. Der Verfasser bemerkt noch, dass der erwähnte Umstand, dass \(A\) sich nicht als ganze Function ausdrücken lässt, einen principiellen Unterschied zwischen den elliptischen und hyperelliptischen Functionen ausdrückt, der seinen Grund darin hat, dass bei den hyperelliptischen Modulfunctionen auch im Innern des Bereiches der Moduln \(\tau_{\alpha\beta}\) für welchen die \(\vartheta\)-Reihen convergiren, solche Stellen vorhanden sind, an denen die Discriminante verschwindet, nämlich die Stelle \(\tau_{12}=0\) und die mit ihr äquivalenten.