Ueber die Bildung der Discriminante einer ternären Form. (Q1539754)

Man bilde die Covariante \[ \psi=(abc)^2 \sum a_y^\kappa b_y^\lambda c_y^\mu a_x^{n-2-\kappa} b_x^{n-2-\lambda} c_x^{n-2-\mu} \quad (\kappa + \lambda + \mu = n-2). \] Gleich Null gesetzt, stellt dieselbe für beliebige Werte von \(y_1,y_2,y_3\) stets Curven der \((2n-4)^{\mathrm ten}\) Ordnung dar, welche durch einen etwaigen Doppelpunkt der Curve \(F \equiv a_x^n \equiv b_x^n \equiv c_x^n = 0\) hindurchgehen. Die gleiche Eigenschaft besitzen ferner die Curven \[ \varphi_1 \;\frac{\partial F}{\partial x_1}=0,\quad \varphi_2\;\frac{\partial F}{\partial x_2}=0,\quad \varphi_3\;\frac{\partial F}{\partial x_3}=0, \] wo \(\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3\) beliebige ternäre Formen von der \((n-3)^{\mathrm ten}\) Ordnung sind. Auf diese Weise erhält der Verfasser \((n-1) (2n-3)\) Gleichungen, aus denen sich die in gleicher Zahl vorhandenen Potenzen und Producte von \(x_1,x_2,x_3\) eliminiren lassen. Die entstehende Determinante stellt die Discriminante der ternären Form \(F\) dar.