Ueber Gruppen von Bewegungen I, II. (Q1539775)

Der Herr Verfasser bestimmt in diesen beiden Abhandlungen alle Gruppen von Bewegungen des euklidischen Raumes. Er will dabei die gruppentheoretische Seite der Aufgabe mehr zu ihrem Rechte kommen lassen, als dies Herr Sohncke bei seiner Bestimmung aller derartigen Gruppen gethan hat. Für Herrn Sohncke waren nämlich nicht die Gruppen an und für sich der Endzweck, sondern die ihnen entsprechenden regulären Gebietseinteilungen des Raumes, welche in der Theorie der Krystallstructur eine grosse Rolle spielen. Herr Schönflies beschränkt sich auf solche Gruppen von Bewegungen, aus deren erzeugenden Bewegungen keine beliebig kleinen Ortsveränderungen abgeleitet werden können, also schliesst er die continuirlichen Gruppen von Bewegungen aus. Unter den Gruppen von Bewegungen sind zu unterscheiden erstens solche Gruppen, welche bloss aus Translationen bestehen, zweitens solche, welche nur Rotationen um einen Punkt enthalten, und drittens alle übrigen, ``die allgemeinen Bewegungsgruppen'', wie sie Herr Schönflies nennt. Die beiden ersten Arten von Bewegungsgruppen setzt Herr Schönflies als bekannt voraus und beschäftigt sich daher bloss mit der Bestimmung der allgemeinen Bewegungsgruppen. Dabei benutzt er den Satz, dass es zu jeder allgemeinen Bewegungsgruppe eine isomorphe Gruppe von Rotationen um einen Punkt giebt, und dass diese isomorphe Rotationsgruppe nach Klein's Benennung entweder die cyklische Gruppe oder die Vierergruppe oder die Diedergruppe oder die Tetraeder- oder die Oktaedergruppe ist. Aus diesem Satze folgt, dass jede allgemeine Bewegungsgruppe eine invariante Untergruppe enthält, in welcher dieselben Translationen vorkommen wie in der betreffenden allgemeinen Bewegungsgruppe, und aus welcher diese letztere durch Multiplication mit einer geeigneten Bewegung hergestellt werden kann. Auf die einzelnen Bewegungsgruppen kann dieser Bericht nicht eingehen; nur soviel sei bemerkt, dass Herr Schönflies seiner Untersuchung eine beträchtliche Anzahl von Figuren beigefügt hat, welche die Beschaffenheit der verschiedenen Bewegungsgruppen veranschaulichen.