Ueber die Zurückführung der Cayley'schen Operation \(\varOmega\) auf gewöhnliche Polaroperationen. (Q1539800)

Bezeichnet \(\varDelta\) die Determinante der \(n\) Variabelnreihen \[ \begin{matrix} x_1, & x_2, & \dots, & x_n, \\ y_1, & y_2, & \dots, & y_n, \\ \hdotsfor4 \\ u_1, & u_2, & \dots, & u_n, \end{matrix} \] und bildet man aus den letzteren die Cayley'sche Operation \[ \varOmega = \begin{vmatrix} \;\frac{\partial}{\partial x_1} & \frac{\partial}{\partial x_2} & \dots & \frac{\partial}{\partial x_n} \\ \;\frac{\partial}{\partial y_1} & \frac{\partial}{\partial y_2} & \dots & \frac{\partial}{\partial y_n} \\ \hdotsfor4 \\ \;\frac{\partial}{\partial u_1} & \frac{\partial}{\partial u_2} & \dots & \frac{\partial}{\partial u_n} \end{vmatrix}, \] so ist bekannt, dass die Operation \(\varDelta\varOmega\) sich durch der \(n^2\) elementaren Polaroperationen \[ D_{pq}=q_1\;\frac{\partial}{\partial p_1} + q_2\;\frac{\partial}{\partial p_2} + \cdots + q_n\;\frac{\partial}{\partial p_n} \quad \quad (p,q=x,y,\dots,u) \] ersetzen lässt. Die gegenwärtige Arbeit führt den Nachweis, dass \(\varDelta\varOmega =\) \[ \begin{vmatrix} D_{xx} & D_{xy} & \dots & D_{xu} \\ D_{yx} & 1+D_{yy} & \dots & D_{yu} \\ . & . & \dots & . \\ D_{ux} & D_{uy} & \dots & n-1+D_{uu} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} n-1+ D_{uu} & \dots & D_{yu} & D_{xu} \\ . & \dots & . & . \\ D_{uy} & \dots & 1+D_{yy} & D_{xy} \\ D_{ux} & \dots & D_{yx} & D_{xx} \end{vmatrix} \] wird.