On a theorem of Euler Briochi Genocchi. (Q1539868)

Multiplicirt man die Summe von \(2^n\) Quadraten mit einer anderen Summe von \(2^n\) Quadraten, so fragt es sich, ob das Product wieder als Summe von \(2^n\) Quadraten darstellbar ist. Eine solche Darstellbarkeit haben Euler für \(n = 2,\) Herr Brioschi für \(n = 3\) dargethan; Genocchi hat eine Verallgemeinerung geben wollen, welche indes, wie Herr Puchta nachweist, nur unter sehr speciellen Voraussetzungen richtig ist. In der vorliegenden Abhandlung wird die Lösung mit Hülfe einer geometrischen Interpretation erzielt. Im Raum von \(2^n\) Dimensionen werden \(2^n\) Ebenen bestimmt, deren jede auf allen übrigen senkrecht steht, und diese Ebenen als neue Coordinatenebenen betrachtet. Die Identität, welche alsdann den Abstand eines beliebigen Punktes vom Ursprung in doppelter Form ausdrückt, liefert ohne weiteres die gesuchte Gleichung. Eine genauere Analyse dieser geometrischen Lösung zeigt, dass eine weit grössere Anzahl von Formeln der gesuchten Art existirt, als Euler und Herr Brioschi gefunden haben. Für \(n = 2\) giebt es \(3!2^4 = 96\) verschiedene Formen des Productes, für \(n = 3\) giebt es \(7!2^{11} = 10 321 920\) Formen. Ist \(n > 3,\) so ist das System zu einander senkrechter Ebenen nicht mehr in rationaler Form darstellbar.