On the equation \(t^2 Du^2 = 1.\) First note. (Q1539885)

Während die Pell'sche Gleichung \(t^2-Du^2 = 1\) für jeden positiven und ganzzahligen (nicht quadratischen) Wert von \(D\) lösbar ist, gilt nicht das Gleiche von der Gleichung \[ t^2-Du^2 = -1. \] Schon den Indern war es bekannt, dass zur Lösung der letzteren die Zerlegbarkeit von \(D\) in eine Summe von zwei zu einander primen Quadratzahlen erforderlich ist. Ist dann aber \(D\) nicht zugleich eine Potenz einer ungeraden Primzahl, so kann die Lösung noch ebenso gut möglich, wie unmöglich sein. Die Gründe für dieses eigentümliche Verhalten liegen in dem Aufbau der Periode der zur Determinante \(D\) gehörigen reducirten Hauptform. In Anlehnung und Weiterverfolgung Dirichlet'scher Congruenzkriterien untersucht der Verfasser in dieser ersten Abhandlung des genaueren die Gleichung \[ t^2 - 2q^2u^2 = - 1, \] wo \(q\) eine Primzahl von der Form \(4n+1\) bedeutet. Ohne auf den Gang der Entwickelung näher einzugehen, die einer grossen Reihe von Umformungen und einer Einteilung in zahlreiche Unterfälle bedarf, sei hier nur das Endergebnis angeführt: ``Zur Lösbarkeit der Gleichung \(t^2 - 2q^2u^2 = - 1\), wo \(q\) eine Primzahl von der Form \(8n+1\) bezeichnet, ist erforderlich, dass die Zahl \(d\) in der Zerlegung \(q = c^2+ 2d^2\) durch 8 teilbar sei. Diese Bedingung ist sogar hinreichend, falls \(q\) von der Form \(16n + 9\) ist, was nicht der Fall bei der Form \(q = 16n +1\) ist.'' Um das Letztere zu erläutern, dienen die Beispiele \[ q=593=16.37 +1, \quad q=353=16.22+1. \] Ist ersten Beispiel ist die Gleichung lösbar, im zweiten nicht.