A combination problem. (Q1539917)

Der Verfasser löst die folgende Aufgabe: Die Anzahl der von den Zahlen \(1,\;2,\;3,\;\dots ,\;n\) gebildeten Complexionen zu bestimmen, die so beschaffen sind, dass niemals die Differenz zweier neben einander stehenden Zahlen 1 ist. (Für \(n=4\) hat man z. B. nur die Complexionen 2413 und 3142). Es wird nachgewiesen, dass, wenn \(u_{n,k}\) die Anzahl solcher Complexionen von \(1, 2, \dots, n\) ist, dass niemals von den Zahlen \(1, 2, \dots,k\) zwei auf einander folgende Zahlen neben einander stehen, die folgende Gleichung stattfindet: \[ u_{n,k}=u_{n,k-1}-u_{n-1,k-1}-u_{n-1,k-2}. \] Infolge dessen hat man \[ \begin{aligned} & u_{nk}=P_n-2(k-1)P_{n-1}+\left(2(k-2)+2^2\;\frac {(k-2)(k-3)} {1.2}\right) P_{n-2}\\ -& (2(k-3)+2^2\;\frac {(k-3)(k-4)} {1.2} \cdot 2+2^3\;\frac {(k-3)(k-4)(k-5)} {1.2.3})P_{n-3}\\ & \hdotsfor1\\ +& (-1)^{k-1}P_{n+1-k},\end{aligned} \] wo \(P_n=1.\,2.\,\dots n\) und der Coefficient von \(P_{n-\alpha}\) gleich dem Coefficienten von \(x^{k-\alpha}\) in der Reihenentwickelung von \((-1)^{\alpha}2x(x+1)^{k-\alpha}(1+2x)^{\alpha-1}\) ist.