Two theorems on probabilities. (Q1539940)

In seiner Abhandlung: ``Des valeurs moyennes'' (Journ. de Math. (2) 12) hat der Verfasser das folgende Theorem bewiesen: ``Wenn die mathematischen Hoffnungen der Grössen: \[ \begin{aligned} & u_1,\quad u_2,\quad u_3,\quad \dots\,,\\ & u_1^2,\quad u_2^2,\quad u_3^2,\quad \dots\end{aligned} \] irgend eine endliche Grenze nicht übersteigen, so nähert sich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das arithmetische Mittel der mathematischen Hoffnungen derselben um irgend eine gegebene Grösse unterscheidet, der Einheit in dem Masse, als \(n\) bis \(\infty\) wächst''. Jetzt benutzt der Verfasser dieselbe Methode, die er damals angewandt hatte, zum Beweise eines neuen Theorems, welches, zur Bestimmung der wahrscheinlichsten Werte der Unbekannten angewandt, direct auf die Methode der kleinsten Quadrate führt. Das bemerkenswerte Theorem ist so formulirt: ``Wenn die mathematischen Hoffnungen der Grössen \(u_1,\;u_2,\;u_3,\;\dots\) Null sind und die mathematischen Hoffnungen aller Potenzen derselben eine endliche Grösse nicht übersteigen, so nähert sich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der \(n\) Grössen \[ u_1+u_2+\cdots +u_n, \] dividirt durch die Quadratwurzel aus der doppelten Summe der mathematischen Hoffnungen der Quadrate jener Grössen, zwischen den Grössen \(t\) und \(t'\) liegt, dem Werte des Integrals \[ \frac {1} {\root \of {\pi}} \int_t^{t'} e^{-x^2} dx \] in dem Masse, als \(n\) bis \(\infty\) wächst.