Ueber die Residuen, welche die angenäherten Werte der Integrale geben. (Q1540081)

In der Abhandlung: ``Ueber die Darstellung der Grenzwerte der Integrale mit Hülfe der Residuen'' (s. F. d. M. XVII. 172, JFM 17.0172.01) hat Herr Tschebyscheff gezeigt, dass, wenn \( 2m \) Integrale: \[ \int_a^b f (x) \, dx, \quad \int_a^b xf (x) \, dx, \quad \dots, \quad \int_a^b x^{2m - 1} f (x) \, dx \] gegeben sind, die Grenzwerte des Integrals \( \int_a^v f (x) \, dx \) ermittelt werden können. Es sei nämlich der Ausdruck: \[ \frac 1z \int_a^b f (x) \, dx + \frac {1}{z^2} \int_a^b xf (x) \, dx + \cdots + \frac {1}{z^{2m}} \int_a^b x^{2m - 1} f (x) \, dx \] als Kettenbruch zu entwickeln, \( \frac {\varphi_m (z)}{\psi_m (z)} \) der \( m^{\text{te}} \) Näherungsbruch dieses Kettenbruches, \[ Z = \gamma (z - v) - \frac {\psi_{m - 1} (v)}{\psi_m (v)}, \quad \Phi_0 (z) = \varphi_m (z) \; Z - \varphi_{m - 1} (z) , \] \[ \Phi_1 (z) = \psi_m (z) \; Z - \psi_{m - 1} (z) . \] Dann giebt das zwischen \( a - w \) und \( v \) genommene Residuum von \( \frac {\Phi_0 (z)}{\Phi_1 (z)} \) den Wert des Integrals \( \int_a^v f (x) dx \) mit einer Abweichung, die nicht \( \frac 12 \frac {\Phi_0 (v)}{\Phi_1 (v)} \) übersteigen kann. In der vorliegenden Abhandlung untersucht der Verfasser den Wert dieser Abweichung und giebt die Formeln, welche zur Bestimmung ihrer oberen Grenze dienen. Die ganze hier gegebene Analyse beruht auf den Formeln der berühmten Abhandlung des Hrn. Tschebyscheff: ``Ueber Kettenbrüche''. Wenn für zwei Functionen \( f (x) \) und \( f_1 (x) \) die Gleichungen: \[ \int_a^b f (x) \, dx = \int_a^b f_1 (x) \, dx, \quad \int_a^b xf (x) \, dx = \int_a^b xf_1 (x) \, dx , \] \[ \dots, \quad \int_a^b x^{2m - 1} f (x) \, dx = \int_a^b x^{2m - 1} f_1 (x) \, dx \] bestehen, so kann die Differenz zwischen den Integralen \( \int_a^v f (x) \, dx \) und \( \int_a^v f_1 (x) \, dx \) augenscheinlich nicht den doppelten Wert des Maximums der Abweichung übersteigen. Als ein Beispiel dieses Resultates erhält der Verfasser, indem er \[ f (x) = \frac {q}{\sqrt {2 \pi}}\;e^{- \frac {q^2}{2}\, x^2} \] setzt, das folgende Theorem: ``Die Function \( f_1 (x) \) gebe, indem sie positiv bleibt: \[ \int_{- \infty}^{+ \infty} f_1 (x) \, dx = 1, \quad \int_{- \infty}^{+ \infty} xf_1 (x) \, dx = 0, \] \[ \int_{- \infty}^{+ \infty} x^2 f_1 (x) \, dx = \frac {1}{q^2}, \; \dots \] \[ \int_{- \infty}^{+ \infty} x^{2m - 2} f_1 (x) \, dx = \frac {1.3.5 \dots 2m - 3}{q^{2m - 2}} , \; \int_{- \infty}^{+ \infty} x^{2m - 1} f (x) \, dx = 0 , \] so bleibt der Wert des Integrals \( \int_{- \infty}^{v} f_1 (x) \, dx \) zwischen den Grenzen \[ \frac {1}{\sqrt {\pi}} \int_{- \infty}^{\frac {qv}{\sqrt 2}} e^{- x^2} \, dx - \frac {3 \sqrt 3 (m^2 - 2m + 3)^{\frac 32} (q^2 v^2 + 1)^3}{2 \; (m - 3)^3 \sqrt {m - 1}} , \] \[ \frac {1}{\sqrt {\pi}} \int_{- \infty}^{\frac {qv}{\sqrt 2}} e^{- x^2} \, dx + \frac {3 \sqrt 3 (m^2 - 2m + 3)^{\frac 32} (q^2 v^2 + 1)^3}{2 \; (m - 3)^3 \sqrt {m - 1}}\text{''} . \] Dieses Theorem findet eine wichtige Anwendung in der Abhandlung des Verfassers: ``Zwei Theoreme über die Wahrscheinlichkeiten''. (S. diesen Band S. 208 (JFM 19.0208.02).)