Bemerkungen über eine Gattung vielfacher Integrale. (Q1540083)

Die hier betrachteten vielfachen Integrale hängen mit Verallgemeinerungen der \( \vartheta \)-Reihe zusammen, bei denen die in dem Exponenten vorkommende Form nicht mehr zu den wesentlich positiven gehört. Es sei \( f(z) \) eine ganze rationale Function der Variabeln \( z \) mit reellen Coefficienten, und es habe \( f(z) \) mit \( \frac {df(z)}{dz} \) keinen gemeinsamen Teiler. Die \( (n + 1) \) Wurzeln der Gleichung \( f(z) = 0\), \(z_0, z_1, \dots, z_n, \) welche von einander verschieden sind, mögen aus \( p \) reellen Wurzeln \( z_{\lambda} = z_0, z_1, \dots, z_{p - 1} \) und aus \( q \) Paaren complexer Wurzeln \( z_{\mu} = z_p, z_{p + 1}, \dots, z_{p + q - 1}, z_{\mu + q} = z_{p + q}, z_{p + q + 1}, \dots, z_{p + 2q - 1}, \) wo \( z_{\mu} \) conjugirt zu \( z_{\mu + q} \) , bestehen. Mit \( (n + 1) \) reellen Variabeln \( x_0, x_1, \dots, x_n \) werde nun das Product von \( (n + 1) \) linearen Functionen: \[ \begin{multlined} F (x_0, x_1, \dots, x_n) = \prod_{\lambda = 0}^{p - 1} (x_0 + z_{\lambda} x_1 + \cdots + z_{\lambda}^n x_n) \\ \times \prod_{\mu = p}^{p + q - 1} (x_0 + z_{\mu} x_1 + \cdots + z_{\mu}^n x_n) (x_0 + z_{\mu + q} x_1 + \cdots + z_{\mu + q}^n x_n) \end{multlined} \] hergestellt. Alsdann haben die vielfachen Integrale die Form \[ \iint \cdots e^{- F (x_0, x_1, \dots, x_n)} dx_0 \, dx_1 \; \dots \, dx_n, \] ausgedehnt über dasjenige Gebiet, das für \( p + q \) beliebige positive Grössen \( b_0, b_1, \dots, b_{p - 1}, c_p, \dots, c_{p + q - 1} \) dem System der Ungleichheiten: \[ 0 < x_0 + z_{\lambda} x_1 + \cdots + z_{\lambda}^n x_n < b_{\lambda} \quad (\lambda = 0, 1, \dots, p - 1), \] \[ 0 < (x_0 + z_{\mu} x_1 + \cdots + z_{\mu}^n x_n) (x_0 + z_{\mu + q} x_1 + \cdots + z_{\mu +q}^n x_n) < c_{\mu}^2 \quad (\mu = p, p + 1, \dots, p + q + 1) \] genügt. In der Theorie der hier untersuchten vielfachen Integrale erhält die Anzahl \( p + q \), die gleich der Summe der Anzahl der reellen und der Anzahl der Paare von complexen conjugirten Wurzeln der Gleichung \( f(z) = 0 \) ist, eine besondere Bedeutung. Das Folgende enthält eine Mitteilung des Herrn Hermite über die Entwickelungen der 16 Verbindungen \( \frac {2K}{\pi}\;\frac {H'(0) \; \Theta (x + a)}{\Theta (x) \; H(a)} \) u. s. f. (s. F. d. M. XVII, 1885, 460 u. 461, JFM 17.0460.01), und über die Integrale der genannten Verbindung zwischen den Grenzen \( a = 0 \dots K \) und \( a = - \frac K2 \cdots + \frac K2 \) u. dgl. m.