Über die Differentialgleichung der allgemeineren hypergeometrischen Reihe mit zwei endlichen singulären Punkten. (Q1540136)

Die hypergeometrischen Reihen \(n\)-ter Ordnung mit den singulären Punkten \( x = 0, 1, \infty \) sind Gegenstand der Untersuchungen von \textit{Th. Clausen} [J. Reine Angew. Math. 3, 89--91 (1828; Zbl 02751710)]] sowie der Herren \textit{J. Thomae} [Math. Ann. 2, 427--444 (1870; JFM 02.0122.01); J. Reine Angew. Math. 87, 26--74 (1879; JFM 11.0336.02)] und \textit{E. Goursat} [Ann. de l'Éc. Norm. (2) 12, 261--287 (1883; JFM 15.0275.01); Acta Math. 5, 97-190 (1884; JFM 16.0240.01)] gewesen. Sie genügen, wie daselbst dargelegt wird, einer linearen Differentialgleichung \(n\)-ter Ordnung von einer gewissen Beschaffenheit und gestatten, analog der Gaußschen Reihe, eine Darstellung durch ein \( (n - 1)\)-faches bestimmtes Integral. Zweck der vorliegenden Untersuchungen ist die Lösung der erwähnten Differentialgleichung durch \( (n - 1)\)-fache bestimmte Integrale nach einer Methode, welche nicht die vorherige Entwickelung der Integrale in Reihen bedingt. Die Differentialgleichung hat die Form \[ \begin{aligned} (1) \quad & x^{n - 1} (x - 1) \frac {d^n y}{dx^n} + x^{n - 2} (a_1 x - b_1) \frac {d^{n - 1} y}{dx^{n - 1}} + \cdots \\ & + x \; (a_{n - 2} x - b_{n - 2}) \frac {d^2 y}{dx^2} + (a_{n - 1} x - b_{n - 1}) \frac {dy}{dx} + a_n y = 0. \end{aligned} \] Statt der \(2n - 1\) Constanten \( a_1, \dots, a_n, \; b_1, \dots, b_{n - 1} \) führt der Verfasser andere Constanten \( \alpha_1, \dots, \alpha_n, \; \varrho_1, \dots, \varrho_{n - 1} \) ein, deren Zusammenhang mit den ersteren durch die Identitäten \[ (2) \begin{cases} (z + \alpha_1) (z + \alpha_2) \dots (z + \alpha_n) = [z]_n + a_1 [z]_{n - 1} + \cdots + a_{n - 1} [z]_1 + a_n, \\ (z + \varrho_1) \; (z + \varrho_2) \dots (z + \varrho_{n - 1}) = [z]_{n - 1} + b_1 [z]_{n - 2} + \cdots + b_{n - 2} [z]_1 + b_{n - 1} \end{cases} \] gegeben ist, indem die Coefficienten gleich hoher Potenzen von \( z \) in den Entwickelungen auf beiden Seiten einander gleich gesetzt werden. Hierbei ist \( [z]_{\kappa} = z (z - 1) \dots (z - \kappa + 1) \). Die Substitution \[ (3) \quad y = \int_{g_{n - 1}}^{h_{n - 1}} (v_{n - 1} - x)^{- \alpha_n} \; v_{n - 1}^{\alpha_n - \varrho_{n - 1}} \; V_{n - 1} \, dv_{n - 1}, \] worin \( V_{n - 1} \) eine Function von \( v_{n - 1} \) allein ist und \( g_{n - 1}, h_{n - 1} \) zwei der vier Grössen \( 0, 1, \infty, x \) bedeuten, führt alsdann zu einer Differentialgleichung \( (n - 1)^{\text{ter}} \) Ordnung für \( V_{n - 1} \), welche wieder die Form der Gleichung (1) hat. Statt der daselbst auftretenden \( 2n - 3 \) Coefficienten führt man mittels Identitäten, die denen in (2) analog gebildet sind, die Constanten \( \alpha_1', \dots, \alpha_{n - 1}', \; \varrho_1', \dots, \varrho_{n - 2}' \) ein, und dabei ergeben sich zwischen diesen und den Constanten \( \alpha_1, \dots, \alpha_n, \; \varrho_1, \dots, \varrho_{n - 1} \) die einfachen Beziehungen \[ \alpha_{\kappa}' = \alpha_{\kappa} - \varrho_{n - 1} + 1 \quad (\kappa = 1, \dots, n - 1), \] \[ \varrho_{\kappa}' = \varrho_{\kappa} - \varrho_{n - 1} + 1 \quad (\kappa = 1, \dots, n - 2). \] Macht man nunmehr die genau nach dem Muster von (3) gebildete neue Substitution \[ \begin{aligned} V_{n - 1} & = \int_{g_{n - 2}}^{h_{n - 2}}(v_{n - 2} - v_{n - 1})^{- \alpha_{n - 1}'} \; v_{n - 2}^{\alpha_{n - 1}' - \varrho_{n - 2}'} \; V_{n - 2} \, dv_{n - 2} \\ & = \int_{g_{n - 2}}^{h_{n - 2}} (v_{n - 2} - v_{n - 1})^{\varrho_{n - 1} - \alpha_{n - 1} - 1} \;v_{n - 2}^{\alpha_{n - 1} - \varrho_{n - 2}} \; V_{n - 2} \, dv_{n - 2} , \end{aligned} \] wo für \(g_{n - 2}, h_{n - 2} \) zwei der Grössen \( 0, 1, \infty, v_{n - 1} \) zu nehmen sind, so genügt \(V_{n - 2}\) als Function von \( v_{n - 2}\) einer Differentialgleichung \( (n - 2)^{\text{ter}} \) Ordnung von der Beschaffenheit wie (1). Durch Fortsetzung dieses Verfahrens gelangt man zuletzt zu einer linearen Differentialgleichung erster Ordnung wie (1), deren Lösung \( V_1 = (v_1 - 1)^{\varrho_1 - \alpha_1 - 1} \) ist. So erscheint die Lösung von (1) in der Form \[ y = \int_{g_{n - 1}}^{h_{n - 1}} dv_{n - 1} \int_{g_{n - 2}}^{h_{n - 2}} dv_{n - 2} \dots \int_{g_1}^{h_1} \Phi (v_1, \dots, v_{n - 1}, x) \, dv_1, \] wo \[ \Phi = (v_{n - 1} - x)^{- \alpha_n} \; v_{n - 1}^{\alpha_n - \varrho_{n - 1}} (v_1 - 1)^{\varrho_1 - \alpha_1 - 1}\times \prod_{\kappa = 2}^{\kappa = n - 1} (v_{\kappa - 1} - v_{\kappa})^{\varrho_{\kappa} - \alpha_{\kappa} - 1} \; v_{\kappa}^{\alpha_{\kappa} - \varrho_{\kappa - 1}}. \] Als Grenzen von \( g_{\kappa}, h_{\kappa} \) für die Integration nach \( v_{\kappa} \) sind zu nehmen, wenn \( \kappa = n - 1 \), zwei der Grössen \( 0, 1, \infty, x \), und wenn \( \kappa < n - 1 \), zwei der Grössen \( 0, 1, \infty, v_{\kappa + 1} \). Indes führt die Anwendung der Grenze 1 zu gewissen Beschränkungen in Bezug auf die Wahl der übrigen Grenzen. Unter der grossen Zahl particulärer Integrale von (1), die sich aus der verschiedenen Bestimmung der Grenzen ergeben, sind diejenigen hervorzuheben, welche die zu den singulären Punkten \( x = 0, 1, \infty \) gehörigen Fundamentalintegrale (``Hauptintegrale'') darstellen. Um diese zu erhalten, gilt die Regel, dass für \( g_i, h_i \) entweder der betrachtete singuläre Punkt und die variable Grenze, oder die beiden übrigen singulären Punkte zu setzen sind. Der Verfasser zeigt ferner, wie diese Hauptintegrale auf hypergeometrische Reihen \( n^{\text{ter}} \) Ordnung zurückgeführt werden können, zu welchem Behuf die \( (n - 1)\)-fachen Integrale in andere transformirt werden, bei denen die sämtlichen Grenzen 0 und 1 sind. Betreffs der Anordnung des Stoffs in der umfangreichen Arbeit sei bemerkt, dass in den ersten acht Paragraphen die Rechnungen für \( n = 2, 3, 4 \) vollständig ausgeführt und gewisse für das allgemeine Problem wichtige Hülfssätze entwickelt werden, von denen hier die Zurückführung eines \(m\)-fachen bestimmten Integrals auf das Product von \(m\) Euler'schen Integralen (\S 6) hervorgehoben sei.