On differential equations with periodic integrals. (Q1540156)

Das System von Differentialgleichungen \[ \frac {dx}{dt} = x_1, \quad \frac {dx_1}{dt} = f (x) \] hat zum Integral \[ t = \int \frac {dx}{\sqrt {2 \int f (x) \, dx + C}} = \int \frac {dx}{\sqrt X} . \] \( X \) habe die reellen Wurzeln \( x = b \) und \( x = c \) und sei zwischen \( b \) und \( c \) positiv, dann wird \( x \) während der ganzen Bewegung zwischen den Grenzen \( b \) und \( c \) continuirlich hin und her schwingen, falls der Anfangswert von \( x \) in diesem Intervall liegt. Es handelt sich nun um die Darstellung von \( x \) als periodische Function von \(t\). \(X\) wird in der Form \[ X = \frac {(b - x) (c - x)}{R^2} \] angenommen, und durch die Substitution \[ x = a (1 - e \; \cos{} u), \quad \text{wo} \quad a = \frac {b + c}{2}, \quad e = \frac {b - c}{b + c}, \] erhält man \[ t + c = \int R \, du . \] \( R \) als periodische Function von \( u \) kann in die Reihe entwickelt werden \[ R = \tfrac 1n (1 + a_1 \; \cos{} u + 2 a_2 \; \cos{} 2u + 3 a_3 \; \cos{} 3u + \cdots ), \] und so ergiebt sich \[ (1) \quad n (t + c) = u + a_1 \; \sin{} u + a_2 \; \sin{} 2u + a_3 \; \sin{} 3u + \cdots . \] Die Aufgabe ist nun, diese Reihe umzukehren, allgemeiner: eine gegebene Function \[ U = F (x, x_1), \quad \left( x = a (1 - e \; \cos{} u), \quad x_1 = \frac {a \; e \; \sin{} u}{R} \right) \] als Function von \( t \) in einer periodischen Reihe darzustellen. Das geschieht, statt nach der Lagrange'schen Methode, mittels bestimmter Integrale nach dem Fourier'schen Theorem. Die gesuchte Reihe sei \[ U = \tfrac 12 \beta_0 + \beta_1 \; \cos{} \zeta + \beta_2 \; \cos{} 2 \zeta + \beta_3 \; \cos{} 3 \zeta + \cdots, \] wo \[ \zeta = n (t + c); \] dann ist \[ \tfrac 12 \pi \beta_i = \int_0^{\pi} U \cos{} i \zeta d \zeta = \int_0^{\pi} F \; \left\{ a (1 - e \; \cos{} u), \frac {a e \sin{} u}{R} \right\} [1 + a_1 \cos u + 2 a_2 \; \cos 2u + \cdots ] \; \cos i \zeta \, du, \] wo \( \zeta \) durch die Reihe (1) als Function von \(u\) gegeben ist. Der Verfasser giebt noch eine andere Entwickelung mittels Anwendung von Bessel'schen Functionen. Im zweiten Teile der Arbeit wird eine Anwendung gemacht auf die Bewegung eines Systems von Punkten unter der Einwirkung von Centralkräften, deren Potential eine Function der Summe der Quadrate der Fahrstrahlen ist.