Sur la résolution de l'équation aux différences fines \( G (x + 1) - G (x) = H (x). \) (Q1540157)

Von der vorstehenden Gleichung ist das endliche Integral leicht zu finden, wenn \( H (x) \) ein Polynom ist. Hier handelt es sich um den Fall, dass \( H \) eine beliebige transcendente ganze Function ist. Der Verfasser weist nach, dass es dann stets eine andere ganze Function \( G \) giebt, die obiger Gleichung genügt. Hierzu bildet er mit Hülfe eines bestimmten Integrals mit veränderlichem Parameter eine Function, die jener Relation genügt, aber Unstetigkeitslinien besitzt; indem dann diese Discontinuitäten zum Verschwinden gebracht werden, gelangt man zum gesuchten Resultat. Die Lösungen der Gleichungen \[ G (x + \omega) - G (x) = H (x) \] und \[ a G (x + 1) + bG (x) = H (x) \] lassen sich unmittelbar auf den vorhergehenden Fall zurückführen. Die Gleichung \[ (1) \quad a_0 G (x + n) + a_1 G (x + n - 1) + \cdots + a_n G (x) = H (x) \] wird mit Hülfe der \( n \) Gleichungen \[ G (x + 1) - \lambda_1 G (x) = G_1 (x), \quad G_1 (x + 1) - \lambda_2 G_1 (x) = G_2 (x), \dots, \] \[ G_{n - 1} (x + 1) - \lambda_n G_{n - 1} (x) = H (x) \] aufgelöst, worin \( \lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n \) die Wurzeln der Gleichung \[ a_n + a_{n - 1} \lambda + a_{n - 2} \lambda^2 + \cdots + a_0 \lambda^n = 0 \] sind. Ist eine Lösung gefunden, dann erhält man alle anderen durch Hinzufügung des allgemeinen Integrals derjenigen Gleichung, die aus (1) hervorgeht, wenn man \( H = 0 \) setzt. Dasselbe ist bereits von den Herren Picard und Floquet bei Gelegenheit ihrer Untersuchungen der eindeutigen Integrale linearer Differentialgleichungen mit periodischen Coefficienten angegeben worden. Der Verfasser betrachtet alsdann das System \[ (2) \quad \begin{cases} a_0 G (x + n \omega) + a_1 G (x + (n - 1) \; \omega) + \cdots + a_n G (x) = H (x), \\ b_0 G (x + m \omega') + b_1 G (x + (m - 1) \; \omega') + \cdots + b_m G (x) = H_1 (x). \end{cases} \] Hier müssen \( H \) und \( H_1 \) einer gewissen Relation genügen. Ist diese erfüllt, so haben die Gleichungen im allgemeinen nur eine ganze Lösung. Hierzu sind noch die meromorphen Lösungen der Gleichungen hinzufügen, die aus (2) hervorgehen, wenn die rechten Seiten gleich Null gesetzt werden. Diese Gleichungen sind ebenfalls bereits von den Herren Picard und Floquet behandelt worden. Zum Schluss behandelt der Verfasser noch die Gleichung \[ \frac {G (x + 1)}{G (x)} = H (x) \] und das System \[ \frac {G (x + u)}{G (x)} = H (x), \quad \frac {G (x + u')}{G (x)} = H_1 (x) . \]