Anwendung einer gewissen Determinantenrelation auf die Integration partieller Differentialgleichungen. (Q1540162)

Bildet man mit den \(p(p + n)\) Elementen \[ m_{\varrho, h} \quad (\varrho = 1, 2, \dots, p; \;h = 1, 2, \dots, p + n) \] die Determinanten \[ (1) \quad M_{i_1, i_2, \dots, i_p} = | m_{\varrho, i_{\sigma}} | \quad (\varrho, \sigma = 1, 2, \dots, p), \] wo \( i_1, i_2, \dots, i_p \; p \) beliebige Zahlen aus der Reihe \( 1, 2, \dots, p + n \) bedeuten, und setzt man speciell \[ \begin{aligned} & M_{1, 2, \dots, p} = | m_{\varrho, \sigma} | = M, \\ & M_{1, 2, \dots, k - 1, i, k + 1, \dots, p} = M_{k, i} \quad {\begin{pmatrix}\l\\ k = 1, 2, \dots, p \\ i = 1, 2, \dots, p + n \end{pmatrix}}, \end{aligned} \] sodass \( M_{k, k} = M\) und \(M_{k, \varrho} = 0 \) ist, für \( \varrho = 1, 2, \dots, p \) und \(\varrho \gtrless k\), dann lassen sich unter der Voraussetzung, dass \( M \lessgtr 0\) ist, die Quotienten \(M_{i_1, i_2, \dots, i_p} : M \), wie folgt, durch die Quotienten \(M_{ki} : M \), von denen nur \(pn\) von 0 und 1 verschieden sind, ganz und rational ausdrücken: \[ (2) \quad \frac {M_{i_1, i_2, \dots, i_p}}{M} = \left| \frac {M_{\varrho, i_{\sigma}}}{M} \right| \quad (\varrho, \sigma = 1, 2, \dots, p). \] Hieraus erhält man nicht bloss die bekannten Relationen (cf. Baltzer, Th. der Det. 2. Aufl. \S. 3. 11) zwischen den \({n + p \choose p}\) Determinanten \( M_{i_1, i_2, \dots, i_p} \), sondern erkennt auch, dass zwischen ihnen nur \({n + p \choose p} - np - 1 \) von einander unabhängige Relationen stattfinden können; alle übrigen müssen Folgen von ihnen oder identisch sein. Und umgekehrt: die Relationen (2) zwischen den \({n + p \choose p}\) Grössen \(M_{i_1, i_2, \dots, i_p} \) sind auch hinreichend dafür, dass sie sich als Determinanten von \( p (p + n) \) Elementen \( m_{\varrho,h} \) in der durch (1) gegebenen Weise darstellen lassen. Mit Hülfe dieser Determinantensätze nun gelangt der Herr Verfasser zu dem folgenden bemerkenswerten Resultate: Damit eine partielle Differentialgleichung zwischen \( p \) unabhängigen Veränderlichen \(x_1, \dots, x_p \) und beliebig vielen abhängigen \( u_1, u_2, \dots, u_n \) die allgemeine Lösung \( \varphi (f_1, f_2, \dots, f_p) = 0 \) habe, wo die \( f \) bestimmt Functionen der Veränderlichen \( x \) und \( u \) sind und \( \varphi \) eine willkürliche Function bedeutet, ist notwendig und hinreichend, dass die partielle Differentialgleichung die Form \[ (3) \quad 0 = \left| m_{\varrho, \sigma} + \sum_{h = 1}^n m_{\varrho, p + h} \frac {\partial u_h}{\partial x_{\sigma}} \right| \qquad (\varrho, \sigma = 1, 2, \dots, p) \] habe, wo die \(m_{\varrho, \sigma} \) Functionen der \( x \) und \( u \) bedeuten, und das System totaler Differentialgleichungen \[ \sum_{\sigma = 1}^p m_{\varrho, \sigma} dx_{\sigma} + \sum_{h = 1}^n m_{\varrho, p + h} du_h = 0; \quad (\varrho = 1, 2, \dots, p) \] unbeschränkt integrabel ist. (Für den Fall einer einzigen abhängigen Veränderlichen erhält man den bekannten Zusammenhang einer linearen partiellen Differentialgleichung mit einem vollständigen System totaler Differentialgleichungen). Hieraus ergiebt sich für den Fall, dass die partielle Differentialgleichung linear sein soll, die Form \[ (4) \quad \begin{cases} A + \sum_{h, \varrho} B_{h, \varrho} \; \frac {\partial u_h}{\partial x_{\varrho}} = 0, \qquad \text{wo} \\ B_{i1} : B_{i2} : \dots : B_{ip} = B_{11} : B_{12} : \dots : B_{1p};\qquad (i = 2, \dots, n) \end{cases} \] und als zugehöriges System totaler Differentialgleichungen: \[ \begin{aligned} & dx_i + \lambda_i dx_1 = 0 \qquad (i = 2, \dots, p),\\ & A \, dx_1 + B_{11} \, du_1 + B_{21} \, du_2 + \cdots + B_{n1} \, du_n = 0, \end{aligned} \] wo \( \lambda_i = - B_{1i} : B_{11} = - B_{2i} : B_{21} = \cdots \) ist. Hat man zur Bestimmung der \( n \) Functionen \(u_i \; n \) lineare partielle Differentialgleichungen \[ (5) \quad A^r + \sum_{h, \varrho} B_{h, \varrho} \frac {\partial u_h}{\partial x_{\varrho}} = 0; \qquad (r = 1, 2, \dots, n) \] so kann man, durch lineare Combinationen derselben, \(n\) Gleichungen (6) herleiten, deren Coefficienten die Bedingungen (4) erfüllen; die Herstellung dieser Combinationen hängt von der Auflösung der Gleichung \(n^{\text{ten}} \) Grades \[ f (\mu) = | B_{g,2}^h - \mu \, B_{g,1}^h | = 0 \qquad (g, h = 1, 2, \dots, \mu) \] ab. Sind dann die zu den Gleichungen (6) gehörigen \(n\) Systeme totaler Differentialgleichungen integrabel, und \(f_1^s = c_1, \dots, f_p^s = c_p \) die Integrale des \(s^{\text{ten}}\) Systems, so hat das System (5) die Gleichungen \(\varphi_h(f_1^h, f_2^h, \dots, f_p^h) = 0\) \((h = 1, 2, \dots, n) \) , wo \( \varphi_1, \varphi_2, \dots, \varphi_n \) willkürliche Functionen bezeichnen, zur allgemeinen Lösung, durch deren Auflösung sich \( u_1, \dots, u_n \) als Functionen von \( x_1, \dots, x_p \) bestimmen. In dem besonderen Falle, dass \( f (\mu) = 0 \) lauter gleiche Wurzeln besitzt, fallen die \( n \) Systeme totaler Differentialgleichungen in ein einziges zusammen, das aus \( n + p - 1 \) Gleichungen besteht und stets integrabel ist, und man gelangt zu dem bereits von Jacobi abgeleiteten Resultate.