On complex functions. (Q1540224)

Als das Analogon in der Ebene zum Newton'schen Potentiale wird gewöhnilch die logarithmische Potentialfunction betrachtet. Der Verfasser schlägt dafür eine andere Function vor, nämlich: \[ U(x,y)=\int\frac{hd\sigma}{c-z}, \] wo \(c=a+bi,\;z=x+yi,\;a,\;b\) die laufenden Coordinaten, \(x,y\) die eines festen Punktes bezeichnen, \(h\) eine eindeutige, endliche und , mit Ausnahme einiger Linien, stetige Function von \(a,b\) ist, die als ``Dichtigkeit'' bezeichnet werden möchte, und die Integration über ein endliches Gebiet \(\sigma\) erstreckt ist. Die Function \(U(x,y)\) ist eindeutig, endlich und stetig in der ganzen Ebene, und es ist: \[ \lim_{z=\infty}(zU)=-\int hd\sigma. \] Die Differentialquotienten von \(U\) sind überall endlich, verschwinden für \(z=\infty\), ändern sich stetig, ausgenommen beim Hindurchgehen durch die Begrenzung von \(\sigma\) und durch die Unstetigkeitslinien von \(h\), und erfüllen die Gleichung: \[ \frac{\partial U}{\partial x}+i\;\frac{\partial U}{\partial y}=-2\pi h, \] oder \[ \frac{\partial U}{\partial s}+i\;\frac{\partial U}{\partial n}=-2\pi h\frac{\partial (x-iy)}{\partial s}, \] wo \(s,n\) irgend zwei rechtwinklige Richtungen sind und das Strahlenpaar \(sn\) dem Strahlenpaare \(xy\) congruent ist. Aus der ersten dieser Gleichungen folgt, dass \(U\) eine Function von \(z\) im Cauchy'schen Sinne ist in jedem Gebiete, wo \(h=0\). Sind \(h,h'\) die Werte von \(h\) zu beiden Seiten einer Unstetigkeitslinie \(s\) und \(n,n'\) die entsprechenden Richtungen der Normale zu \(s,\) so ergiebt sich: \[ \frac{\partial U}{\partial n}+\frac{\partial U}{\partial n'}=2\pi i(h-h')\;\frac{\partial (x-iy)}{\partial s}. \] Endlich findet man die Gleichung: \[ \frac1{2\pi i}\int_{s'}\frac{Udz}{z-\zeta}=\varepsilon U(\xi,\eta)-\int_{\sigma'}\frac{hd\sigma'}{c-\zeta}\,; \] \(\sigma'\) ist ein willkürliches Gebiet, dessen Begrenzung \(s'\) ist; \(\zeta=\xi+i\eta\), und \(\varepsilon=1\) oder \(=0\), je nachdem der Punkt \(\zeta\) innerhalb oder ausserhalb \(\sigma\) liegt. Die Analogie dieser Formeln mit denjenigen der Potentialtheorie ist von selbst ersichtlich.