Note on the fonction \({\mathfrak K}(w,x,s)= \sum^{\infty}_{k=0}\frac{e^{2k\pi ix}}{(w+k)^s}\). (Q1540242)

Durch Anwendung der Methode, deren Riemann sich in seiner Abhandlung über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse (Berl. Monatsber. Nov. 1859; Ges. W. p. 136 ff.) bedient hat, wird gezeigt, dass die obige Reihe \({\mathfrak K}(w,x,s)\), die sich auch durch \(\frac1{\varGamma(s)}\int^{\infty}_0\frac{e^{-wz}z^{s-1}dz}{1-e^{2\pi i-z}}\) darstellen lässt, eine ganze, transcendente Function von \(s\) ist, und die Relation hergeleitet \[ {\mathfrak K}(w,x,1-s)= \frac{\varGamma(s)} {(2\pi)^s}\left\{e^{\pi i(\frac12 s-2wx)}{\mathfrak K}(x,-w,s)+e^{\pi i(-\frac12+2w(1-x))}.{\mathfrak K}(1-x,w,s) \right\}, \] wenn der imaginäre Teil von \(x\) positiv, \(w\) ein positiver, echter Bruch und der reelle Teil von \(s\) positiv ist; liegt dieser in dem Intervall \(0\dots1\), so gilt die Formel auch für reelle Werte von \(x\). Als specieller Fall ergiebt sich die von Herrn Kronecker (Berl. Ber. April 1883 und Juli 1885) benutzte Gleichung \(\frac{2\pi ie^{2\pi iwx}}{1-e^{w\pi ix}}=\lim_{n=\infty}\sum^n_{k=-n}\frac{e^{2kw\pi i}}{k-x}\) (Lipschitz in J. für Math. LIV. 320). Man vergleiche die inzwischen erschienene Arbeit des Herrn Lipschitz in J. für Math. CV. 127 ff.