Remarks on Jacobi's theta formulas. (Q1540278)

Durch Betrachtung der Functionen \[ T_h(\zeta_0,\zeta_1,\zeta_2,\zeta_3)=\vartheta_h(\zeta_0+\zeta_1)\vartheta_h( \zeta_0-\zeta_1)\vartheta_h(\zeta_2+\zeta_3)\vartheta_h(\zeta_2-\zeta_3), \] wo \[ \begin{aligned} & \vartheta_0(\zeta)=\sum{}(-q)^{n^2}e^{2n\zeta\pi i},\quad i\vartheta_1(\zeta)=q^{\frac14}\sum{}(-1)^nq^{n^2+n}e^{(2n+1)\zeta\pi i},\\& \vartheta_3(\zeta)=\sum{} q^{n^2}e^{2n\zeta\pi i},\quad \vartheta_2(\zeta)=q^{\frac14}\sum{} q^{n^2+n}e^{(2n+1)\zeta\pi i},\end{aligned} \] ergiebt sich, dass \(T_2+T_3\) eine symmetrische Function der vier Grössen \(\zeta\) ist. Dieses Resultat ist nicht anderes als die berühmte Fundamentalgleichung für die Theorie der Thetafunctionen, die Jacobi gegeben hat. Ferner ist die Summe der drei conjugirten Werte von \(T_1\) gleich Null, und dieser Satz ist identisch mit der Weierstrass'schen dreigliedrigen \(\sigma\)-Formel (Berl. Monatsber. 1882. 505). Vgl. die vorstehend angeführte Abhandlung (siehe JFM 19.0457.02). Nach Herleitung allgemeinerer Thetaformeln bemerkt Herr Kronecker, dass die Möglichkeit der Ableitung der Jacobi'schen Formel aus der Weierstrass'schen sich schon in dem Werke von Briot und Bouquet: ``Théorie des fonctions elliptiques'' p. 495 finde, und leitet umgekehrt die Weierstrass'sche Formel aus der Jacobi'schen Thetaformel her.