On the canonical periods of the abelian integrals. Zweite Abhandlung. (Q1540316)

Durch die algebraische irreducible Gleichung \(f(x,y)=0\) werde eine \(\nu\)-wertige Function \(y\) von \(x\) mit \(\sigma\) Verzweigungspunkten \(w_1,w_2,\dots,w_{\sigma}\) definirt. Ist dann \(y_{\alpha}\) einer der \(\nu\) Werte von \(y\) für einen bestimmten Wert \(x_0\) von \(x\), der keinem Verzweigungspunkte entspreche, so geht derselbe durch den Umlauf um einen Verzweigungspunkt \(w\) in einen Wert \(y_{\beta}\) über, der auch mit \(y_{\alpha}\) identisch sein kann. In diesem Sinne entsprechen jedem Verzweigungspunkte \(\nu\) und daher allen \(\sigma\) Verzweigungspunkten \(\nu\sigma\) ``Uebergänge''. Unter ihnen können stets \(\nu-1\) so ausgewählt werden, dass man mit ihrer Hülfe von jedem Werte \(y_\alpha\) zu jedem anderen gelangen kann; solche \(\nu-1\) Uebergänge heissen fundamentale. Setzt man aus denselben einen geschlossenen, d. h. zu dem Anfangswerte \(y\) zurückführenden Weg zusammen, so ist ein Integral erster Gattung einer rationalen Function von \(x\) und \(y\), über einen solchen Weg genommen, Null. Andere geschlossene Wege können aus einem gegebenen nicht fundamentalen Uebergange und passend dazu gewählten fundamentalen hergestellt werden; ein Integral erster Gattung, erstreckt über einen solchen Weg, ist nicht Null, und man erhält auf diese Weise in den Integralwerten, den \(\nu\sigma-(\nu-1)\) nicht fundamentalen Uebergängen entsprechend, \(\nu\sigma-(\nu-1)\) Perioden der Integrale erster Gattung; unter ihnen können \(2\varrho\) ``normale'' oder ``kanonische'' ausgesucht werden, aus denen sich dann alle Perioden linear und ganzzahlig zusammensetzen lassen. Mit der Bildung der den Perioden überhaupt und speciell den \(2\varrho\) kanonischen zu Grunde liegenden geschlossenen Wege beschäftigen sich die Art. 4-7. In Art. 8 und 9 werden im Anschlusse daran zwei bekannte von Riemann in den Art. 20, 21 seiner Theorie der Abel'schen Functionen mitgeteilte Relationen abgeleitet.