On a partial differential equation of theta functions of two argumants and on their expansion into series. (Q1540327)

Der Verfasser stützt sich in vorliegender Abhandlung auf seine im [J. Reine Angew. Math. 99, 236--257 (1885; JFM 17.0480.01)] veröffentlichten Untersuchungen und auf die des Herrn \textit{F. Brioschi} [Rom. Acc. L. Rend. (4) 2, No. 1, 199--203, 215--221 (1886; JFM 18.0418.01)]. Er giebt die Differentialgleichungen, die zwischen den Ableitungen der Thetafunctionen zweier Veränderlichen nach den Argumenten und den Parametern bestehen, sowie die aus diesen Differentialgleichungen abgeleiteten Recursinsformeln für die Coefficienten der nach Potenzen der Argumente entwickelten Thetafunctionen mit besonderer Berücksichtigung ihrer Eigenschaft als Invarianten und Covarianten nach der von Herrn \textit{F. Klein} in seiner Abhandlung ``Ueber hyperelliptische Sigmafunctionen'' [Math. Ann. 27, 431--464 (1885; JFM 18.0418.02)] gegebenen Anregung. Zu diesem Zwecke ist es notwendig, dass \(R(x)\) vom sechsten Grade ist, ausserdem wird statt \(\varTheta(u_1,u_2)\) eine Function \[ Th=2\pi(\omega_{11}\omega_{22}-\omega_{12}\omega_{21})^{-\frac12}\varTheta (u_1,u_2) \] eingeführt und für diese die Differentialgleichung zwischen den zweiten und ersten Ableitungen nach \(u_1\) und \(u_2\) und ihrer Ableitung nach einer Wurzel von \(R(x)\) sowie der Function selbst aufgestellt. Den drei hierbei auftretenden unbestimmten Constanten werden darauf solche Werte gegeben, dass die Glieder gleicher Dimension in der Reihenentwickelung der Thetafunctionen, abgesehen von gewissen Factoren, unmittelbar Covarianten werden; hierbei ergiebt sich zugleich der Ausdruck für die Glieder zweiter Dimension der geraden Theta, und es wird der der dritten für die ungeraden berechnet. Die betreffende Differentialgleichung wird darauf umgeformt und zunächst in einer in Bezug auf die Wurzeln von \(R(x)\) symmetrischen Form gegeben. Hierbei zeigt sich, dass die Glieder der gleichen Dimension in \(u_1\) und \(u_2\) bei den geraden Theta simultane Covarianten der beiden kubischen Formen sind, in die \(R(x_1,x_2)\) sich zerlegen lässt, und ebenso, dass die der ungeraden Theta solche einer linearen Form und der dazu gehörigen Form fünfter Ordnung sind. Ferner werden die Ableitungen nach den Coefficienten dieser Formen eingeführt, also entweder nach denen der beiden kubischen oder nach denen der ersten und fünften Ordnung, die Differentialgleichung entsprechend umgeformt und die Recursionsformeln für die Glieder gleicher Dimension gegeben. Die Glieder werden einerseits bis zur siebenten, andererseits bis zur sechsten Dimension durch Covarianten unter Anlehnung an die Clebsch'sche Bezeichnungsweise vollständig gegeben.