Beiträge zur Analysis situs. III. (Q1540358)

Im Anschluss an die beiden ersten gleichbetitelten Aufsätze (s. F. d. M. XVII. 1885. 523, JFM 17.0523.02; XVIII. 1886. 454, JFM 18.0454.01) wird hier die Frage aufgestellt: Welche Anzahlbestimmungen sind (unter Voraussetzung eines analytischen Datums) an einer Mannigfaltigkeit durchzuführen, um dieselbe im Sinne der Analysis situs hinreichend und vollständig zu charakterisiren\(?\) Diese Frage wird speciell für ebene Curven und für Flächen beantwortet. Ist im ersten Falle die Curve durch die Gleichung \(F(x,y)=0\) gegeben, so wird ihr Verlauf bestimmt 1) durch ihre horizontalen Tangenten \((y=y_i)\) nebst Angabe, auf welcher Seite der Tangente der berührte Curvenzweig liegt, 2) durch das Lagenverhältnis des Berührungspunktes jeder dieser Tangenten zu ihren Schnittpunkten mit der Curve, ausgedrückt durch gewisse Zahlen \(\lambda\) die mittels des Sturm'schen Satzes bestimmt werden. Im zweiten Falle wird die gegebene Fläche auf eine Ebene projicirt, wobei eine Umrisscurve und verschiedene Doppelcurven entstehen, letztere als Projectionen der Raumcurven, in denen die Fläche sich selbst durchsetzt. Die Anordnung der Flächenteile wird hier bestimmt 1) durch die Umrisscurve und die Doppelcurven, nebst Angabe, auf welcher Seite der Curve die beiden in der Projection sich bedeckenden Flächenstücke liegen, 2) durch die Art der Ueberkreuzungen des entstandenen Curvensystems und der Berührungen von Umriss- und Doppelcurven, 3) durch die Schnittpunktzahlen (\(\lambda\)) derjenigen Projectionsstrahlen, welche durch je einen Punkt der Umrisscurve und der Doppelcurven gehen. Diese Bedingungen werden als notwendig und hinreichend nachgewiesen. Schliesslich findet sich, dass ein beliebig gegebenes System ebener geschlossener Curven stets auf verschiedene Arten als Abbildung des vollständigen Umrisses einer Fläche angesehen werden kann, und zwar auch dann, wenn diese Curven sich selbst durchsetzen.