Ueber Ovale und Eiflächen. (Q1540535)

Eine ganz im Endlichen liegende Curve bez. Fläche, die mit jeder in das Innere eintretenden Geraden genau zwei Punkte gemein hat, heisst ein Oval bez. eine Eifläche (Abschnitt I). Das Auftreten von Ecken, Geraden und Ebenen-Stücken ist damit nicht ausgeschlossen. Das Bestehen eines Krümmungsmasses an allen Stellen der betrachteten Ovale wird im II. Abschnitt vorausgesetzt. Wenn man den Drehungssinn für die Messung des Contingenzwinkels beliebig und die Richtung, in der das Oval zu durchlaufen ist, richtig wählt, so wird das Krümmungsmass überall positiv sein. Das Zahlengebiet, innerhalb dessen sich dann das Krümmungsmass in den einzelnen Ovalpunkten bewegt, heisst das Krümmungsgebiet. Die Zahlen 0 oder unendlich umfasst dasselbe, wenn das Oval gerade Strecken oder Ecken besitzt. Bei einer Eifläche umfasst das Krümmungsgebiet einer Stelle alle Krümmungsmasse, welche bei den Normalschnitten an der betreffenden Stelle auftreten können. Das Krümmungsgebiet der Eifläche umfasst die Krümmungsgebiete aller Punkte der Eifläche. Da der Meusnier'sche Satz vorausgesetzt wird, so reicht das Krümmungsgebiet eines ebenen Schnittes nicht unter das der Eifläche herab. Herr Brunn spricht von angrenzenden Krümmungsgebieten, wenn das grösste Krümmungsmass des einen Gebietes zugleich das kleinste des andern ist; er nennt ein Krümmungsgebiet höher als ein anderes, wenn sein kleinstes Krümmungsmass das grösste des anderen übertrifft. Dies vorausgesetzt, gilt der Satz, dass ein Oval mit einem anderen von getrenntem Krümmungsgebiet höchstens zwei Punkte, mit einem von angrenzendem Krümmungsgebiet höchstens einen Kreisbogen mit dem gemeinsamen Krümmungsmass gemein haben kann (No. 15). In ein Oval mit niedrigerem Krümmungsgebiet kann es ganz hineingebracht werden und dann um mindestens einen Punkt beliebig gedreht werden, ohne dass es das äussere Oval verlässt (No. 19). Entsprechend ergiebt sich, dass jede Eifläche ganz in eine andere von niedrigerem Krümmungsgebiet hineingebracht werden kann. Eiflächen getrennter Krümmungsgebiete können sich nur in einer geschlossenen Curve ohne Doppelpunkte begegnen (No. 4 bezw. 34). Im III. Abschnitt wird die Beschränkung wegen des Krümmungsmasses wieder fallen gelassen. Sehr leicht ergiebt sich, dass bei einer Schar paralleler Sehnen eines Ovals nur ein Maximum der Länge existirt, verwirklicht bei mehr als einer und dann bei unendlich vielen Sehnen nur, wenn Stücke von zwei parallelen Geraden im Oval vorkommen. Eines wirklichen Beweises aber bedarf der Satz No. 5, nach dem bei einer Schar paralleler ebener Schnitte einer Eifläche nur ein Minimum des Inhalts vorkommen kann, verwirklicht entweder an einem Schnitt oder an einer Schar congruenter Schnitte, die einer zur Eifläche gehörigen Cylinderfläche entstammen. Schneiden nämlich zwei parallele Ebenen flächengleiche, aber nicht congruente und ähnlich liegende Ovale aus, so schneidet jede zwischen beiden liegende parallele Ebene ein Oval von grösserem Inhalt aus. Bei dem entsprechenden Satz über die Umfänge von Parallelschnitten fusst Herr Brunn darauf, dass jedes Oval kleineren Umfang haben muss als ein dasselbe umschliessendes. Ferner benutzt er eine besondere Eifläche \(\mathfrak Q\). Zur Umgrenzung von \(\mathfrak Q\) gehören zwei Ovale von gleichem Umfang in parallelen Ebenen und der zwischen ihren Ebenen liegende Teil \(\mathfrak M\) der abwickelbaren Fläche \(\mathfrak D\), deren erzeugende Ebenen beide Ovale berühren, ohne sie zu trennen. Dass wirklich so eine Eifläche entsteht, wäre wohl ausführlicher darzuthun gewesen. Alle Schnitte der Eifläche, deren Ebenen zu denen der begrenzenden Ovale parallel sind, haben denselben Umfang, wie diese. Da die Eifläche völlig innerhalb jeder anderen liegt, die ihre Endflächen zu Schnitten hat, so kann Herr B. folgern, dass bei jeder Schar von Parallelschnitten einer Eifläche nur ein Maximum des Umfanges vorkommen kann. Ist es aber an unendlich vielen Schnitten verwirklicht, so brauchen diese nur Schnitte einer Fläche \(\mathfrak M\), nicht einer Cylinderfläche zu sein, wie Herr B. behauptet (No. 13.). Sind die beiden Begrenzungen der Eifläche \(\mathfrak Q\) congruent, aber nicht ähnlich gelegen, so haben die von parallelen Ebenen ausgeschnittenen Ovale grösseren Inhalt und gleichen Umfang, und es lässt sich hieraus schliessen, dass nur beim Kreise der Inhalt bei gegebenem Umfange ein Minimum sein kann. Im Anschluss hieran macht Herr B. auf einige kleinere Ungenauigkeiten in Steiner's zweiter Abhandlung zur Isoperimetrie aufmerksam. In No. 27 beweist Herr B., dass in einem Oval ohne geradlinige Strecke, welches einen Mittelpunkt besitzt, jeder andere Punkt nur eine Sehne halbiren kann. In den folgenden Nummern sucht er zu zeigen, dass in einer Eifläche mit Mittelpunkt ohne geradlinige Strecken jede Sehne nur einen durch sie gehenden Schnitt der Eifläche halbirt.