Das Clebsch'sche Sechseck. (Q1540540)

Die Arbeit beschäftigt sich damit, in dem Operationsfelde der Ebene und auf synthetisch-geometrischem Wege die Construction und die Eigenschaften eines merkwürdigen ebenen Sechsecks herzuleiten, auf welches zuerst Clebsch (Math. Annalen IV. 336) aufmerksam gemacht hat. Sind 1, 2, 3, 4 beliebige Punkte einer Ebene, so lassen sich durch elementare Construction stets zwei Punkte 5, 6 in derselben Ebene so bestimmen, dass gleichzeitig die Perspectivitäten erfüllt werden: \[ \begin{matrix} \quad &\quad & \quad &\quad & \\ 123 & 123 & 123 & 123 & 124\\ \underline{456} & \underline{654} & \underline{546} & \underline{465} & \underline{536}\\ \text{I} & \text{II} & \text{III} & \text{IV} & \text{V}\end{matrix} \] wo \[ \begin{matrix}\quad & \quad & \quad & \l\\ |14|, & |25|, & |36| & \text{sich in I,} \\ |16|, & |25|, & |34| & \text{sich in II schneiden etc.} \end{matrix} \] Sechs so bestimmte Punkte bilden ein Clebsch'sches Sechseck. Aus den angegebenen fünf Perspectivitäten folgen von selbst 35 andere und zwar derart, dass der Satz gilt: ``Wenn man aus den sechs Ecken eines Clebsch'schen Sechsecks irgendwie zwei Dreiecke mit verschiedenen Ecken (ein Paar complementäre Dreiecke) bildet, was auf 10 Arten geschehen kann, so liegen dieselben allemal auf vierfache Weise perspectiv, d. h. sie befinden sich in der möglichst grössten Anzahl von gleichzeitig perspectiver Lage zweier reellen Dreiecke. Es treten dabei nur zehn verschiedene Perspectivitätscentra auf, indem für vier verschiedene Dreieckspaare immer ein und dasselbe Perspectivitätscentrum sich ergiebt.'' Das Clebsch'sche Sechseck kann auch als eine Figur von sechs Punkten der Ebene in der eigentümlichen Lage aufgefasst werden, dass von den 60 einfachen Sechsecken, welche im allgemeinen aus sechs Punkten sich bilden lassen, 40 Brianchon'sche Sechsseite sind, die übrigen 20 nicht. Während ein Sechseck im allgemeinen 45 Diagonalpunkte (Schnittpunkte der Seiten ausser den sechs Ecken) hat, besitzt das Clebsch'sche Sechseck nur 25 verschiedene, indem in jedem der 10 Perspectivitätscentra drei Diagonalpunkte vereinigt sind. Rein geometrische Betrachtungen liefern sowohl für die 10 Perspectivitätscentra als auch für die übrigen 15 Diagonalpunkte eine Reihe interessanter Lagenbeziehungen. Insbesondere ergiebt sich, dass jeder der letzteren 15 Punkte der Pol einer bestimmten Seite des vollständigen Clebsch'schen Sechsecks in einem und demselben Polarsystem ist, und dass die 15 Seiten des Sechsecks sich zu je dreien als die Seiten von fünf selbstconjugirten Dreiecken dieses Polarsystems zusammenstellen lassen. Die fünf Ecken eines regulären Fünfecks und der Mittelpunkt desselben bilden ein specielles Clebsch'sches Sechseck; das mit diesem in Verbindung stehende Polarsystem ist ein elliptisches. Da das allgemeine Clebsch'sche Sechseck durch collineare Umformung aus dem speciellen hervorgeht, so ist auch das bei ersterem auftretende Polarsystem immer ein elliptisches.