Sur une extension d'un théor`eme de Clebsch relatif aux courbes du quatrième degré. (Q1540669)

Werden die Glieder der Entwickelung von \((\delta_x,\delta_y,\delta_z,\dots )^{\eta}\) angewandt auf die Grösse \((x,y,z,\dots )^{2\eta}\), so enthält man ebensoviele Functionen vom Grade \(\eta\), als es Glieder in jeder Function giebt. Die Gesamtheit ihrer Coefficienten liefert somit die Matrix einer Determinante, welche wie in der Theorie der binären Formen als Katalektikante bezeichnet wird. Für eine Potenz einer linearen Function der Variabeln, und wie man sich leicht überzeugt, auch für eine Summe solcher Potenzen verschwindet die Katalektikante, sobald die Zahl dieser Potenzen kleiner ist, als die Ordnung der Katalektikante. Es ergeben sich hieraus folgende Sätze: Eine binäre Form der Ordnung \(2\eta\) kann nur dann als Summe von \(\eta\) Potenzen linearer Functionen dargestellt werden, wenn ihre Katalektikante verschwindet. Dann der Satz von Clebsch: Das erste Glied der Gleichung einer Curve vierter Ordnung ist im allgemeinen nicht ausdrückbar durch eine Summe von fünf Potenzen linearer Functionen der Variabeln. Ferner der paradox scheinende Satz: Das erste Glied der Gleichung einer Fläche vierter Ordnung, welches nur 35 Constante enthält, kann im allgemeinen nicht durch eine Summe von neun Potenzen dargestellt werden, obgleich diese Summe 36 disponible Constante besitzt.