Ueber den Zusammenhang der Räume constanten Riemann'schen Krümmungsmasses mit den projectiven Räumen. (Q1540695)

\textit{E. Beltrami} hat [Ann. Mat. (2) 2, 232--255 (1868; JFM 01.0208.03)] gezeigt, dass jeder Raum, für welchen sich das Linienelement in der von Riemann gegebenen Form ausdrückt, und den er einen projectiven Raum nennt, die Eigenschaft besitzt, dass die Gleichungen der kürzesten Linien in demselben linear sind, und dass solche Räume constantes Riemann'sches Krümmungsmass haben. \textit{R. Lipschitz} hat umgekehrt bewiesen [Borchardt J. 72, 1--56 (1870; JFM 02.0129.02)], dass jeder Raum constanten Riemann'schen Krümmungsmasses ein projectiver ist. Der Herr Verfasser hat diese Untersuchung von neuem aufgenommen, hauptsächlich in der Absicht, dem Beweise eine einfachere Gestalt zu geben. Eine solche Vereinfachung hat er durch einige geometrische Betrachtungen erlangt. Ein projectiver Raum ist nämlich dadurch vollständig charakterisirt, dass jede seiner ``geodätischen Flächen'' zweifach unendlich viele seiner geodätischen Linien enthält. (Unter geodätischen Flächen sind die Orte aller geodätischen Linien verstanden, welche in einem Punkte \(P\) eine durch \(P\) gehende Ebene berühren). Fragt man nun, ob es Räume giebt, welche diese Eigenschaft nicht allgemein besitzen, sondern nur für die durch einen festen Punkt gehenden Flächen, so lässt sich für sie das Linienelement aufstellen, und es folgen gewisse Eigenschaften des Krümmungsmasses; und daraus lässt sich dann der Beweis, um den es sich handelt, leicht finden. Diesen specielleren Untersuchungen ist eine vollständige Begründung der Begriffe und Sätze der Theorie der Räume vorausgeschickt, und am Schlusse finden sich Betrachtungen über Verallgemeinerungen des Riemann'schen Krümmungsmasses.