Beiträge zur Theorie der algebraischen Flächen. Erster Theil: Zur Theorie der Steiner'schen Kernfläche. (Q1540726)

Aus der Polarentheorie der Flächen \(n^{\text{ter}}\) Ordnung ist folgender Satz bekannt: hat die \(k^{\text{te}}\) Polare des Punktes \(y\) im Punkte \(x\) einen Doppelpunkt, so hat die \((n-k-1)^{\text{te}}\) Polare von \(x\) einen Doppelpunkt in \(y\). Es sind somit die beiden Flächen \(S_k\) und \(H_k\), von welchen \(S_k\) der Ort derjenigen Punkte ist, für welche die \(k^{\text{te}}\) Polare einen Doppelpunkt hat, und \(H_k\) der Ort dieser Doppelpunkte selbst, eindeutig auf einander bezogen. Der Verfasser nennt \(S_k\) und \(H_k\) conjugirte Kernflächen \(k^{\text{ter}}\) Ordnung in Bezug auf die Ordnungsfläche \(f=0\), und zwar \(S_k\) die \(k^{\text{te}}\) Steiner'sche und \(H_k\) die \(k^{\text{te}}\) Hesse'sche. Die Singularitäten dieser beiden Flächen sollen nun näher untersucht werden. Der Verfasser beginnt, ähnlich wie Herr Krey (Klein Ann. XVIII. 84-90), mit dem eindeutigen Entsprechen zweier Flächen vermöge vier biquaternärer Gleichungen \(f_j=0\) zwischen den homogenen Coordinaten \(x_i,y_i\) wo \(i=1,2,3,4\) gesetzt wird. Durch Elimination der \(x_i\) erhält man die Gleichung einer Fläche \(\varPhi_y\) und durch Elimination der \(y_i\) die Gleichung einer Fläche \(F_x\). Beide sind durch die Gleichungen \(f_j=0\) eindeutig auf einander bezogen. Es werden nun die Singularitäten dieser Flächen auf algebraischem Wege bestimmt und die von Herrn Krey gefundenen Zahlenresultate bestätigt. Im allgemeinen haben die Flächen keine Rückkehrcurve, wohl aber Doppelpunkte. Durch fünf biquaternäre Gleichungen \(f_j=0,\; j=1,\dots ,5\) ist ein Curvenpaar \(C_x\) und \(T_y\) eindeutig auf einander bezogen, für welches die Charaktere in analoger Weise bestimmt werden. Um die Anwendungen dieser Resultate auf die Kernflächen zu machen, werden die Formen \(f_j\) zunächst derart specialisirt, dass \[ f_j=\frac {\partial f}{\partial x_j} \quad (j=1,\dots ,4). \] Es wird dann die Fläche \(\varPhi_y\) von den Polarebenen der Punkte von \(F_x\) in Bezug auf \(f\) umhüllt. \(\varPhi_y\) erhält jetzt eine Rückkehrcurve. Die Singularitäten für \(\varPhi_y\) und \(F_x\) werden auch in diesem Falle bestimmt. Die Formen \(f_j\) werden endlich noch weiter specialisirt, indem angenommen wird, dass: \[ \frac {\partial f}{\partial x_j}=\frac {\partial \varphi}{\partial y_i}, \] und es wird bewiesen, dass diejenigen Formen \(f_j\), welche diesen Bedingungen genügen, Polaren einer Form \(\varPsi\) sind. Nun können die Anwendungen der vorher gefundenen Sätze auf die Polarentheorie algebraischer Gebilde stattfinden. Zum Schlusse werden die Hesse'sche Fläche und ihre conjugirte Kernfläche einer eingehenden Betrachtung unterworfen, und es wird die Tabelle für die wichtigsten Charaktere von \(S\) mitgeteilt.