Die Theorie der Osculanten und des Sehnensystems der Raumcurve IV. Ordnung II. Species. (Q1540774)

Sind \(a_0=0,\; a_1=0,\dots ,\; a_n=0\) Gleichungen beliebiger Ebenen, ist \(n_p\) der Binomialcoefficient \(\frac {n(n-1\dots (n-p+1)}{1.2\dots p}\), und sind \(\kappa\) und \(\lambda\) Parameter, so stellt \[ f(\kappa ,\lambda )=\sum_{p=0}^n n_pa_p\kappa^{n-p}\lambda^p=0 \] einen Ebenenbüschel \(\text{E}_n\; n^{\text{ter}}\) Ordnung dar. Setzt man nun den Coefficienten \(\omega^{(p)}(\kappa ',\lambda '|\kappa ,\lambda )\) von \(n_pK^{n-p}\varLambda_p\) in der Entwickelung von \(f(\kappa K+\kappa '\varLambda ,\lambda K+\lambda '\varLambda )\) gleich Null, so erhält man die Gleichung der \(p^{\text{ten}}\) Osculante der Ebene \(f(\kappa ',\lambda ')=0\) hinsichtlich des gegebenen Ebenenbüschels. Dieselbe ist also ein zu dem gegebenen projectivischer Ebenenbüschel \((n-p)^{\text{ter}}\) Ordnung; sie hat mit demselben nicht nur die Ebene \(f(\kappa ',\lambda ')=0\) selbst, sondern auch ihre Tangente und ihren Schmiegungspunkt gemeinsam. Dies ist eine einfache Folgerung daraus, dass \(\omega^{(p)}(\kappa ',\lambda '|\kappa ,\lambda )\) aus den verschiedenen partiallen \(p^{\text{ten}}\) Ableitungen von \(f(\kappa ,\lambda )\) linear und homogen zusammengesetzt ist. Für alle Punkte der abwickelbaren Fläche, die \(\text{E}_n\) umhüllt, verschwindet die Discriminante von \(f(\kappa ,\lambda )\), die Resultante der beiden ersten gleich Nul gesetzten Ableitungen von \(f(\kappa ,\lambda )\). Für diese Gleichungen kann man zwei lineare Verbindungen, also die Gleichungen irgend zweier ersten Osculanten, eintreten lassen. Jede erste Osculante ist also zu der Regelschar der von \(\text{E}_n\) umhüllten abwickelbaren Fläche perspectivisch. Für jeden Punkt der Schmiegungscurve von \(\text{E}_n\) verschwinden die drei zweiten Ableitungen von \(f(\kappa ,\lambda )\) und allgemeiner alle linearen Verbindungen dieser Ausdrücke gleichzeitig. Jede zweite Osculante, deren Gleichung \(\omega^{(2)}=0\) ja auf diese Art entsteht, ist daher zu der Schmiegungscurve von \(\text{E}_n\) perspectivisch. Ferner ist jede zweite Osculante zu der Regelschar der abwickelbaren Fläche perspectivisch, welche die zugehörige erste Osculante umhüllt. Sie tritt aber nur als einzelnes Glied in einem ganzen System unter sich projectivischer Ebenenbüschel \((n-2)^{\text{ter}}\) Ordnung auf, von denen je zwei die bezeichnete Regelschar erzeugen. Dies führt auf eine sehr brauchbare Gleichungsform desjenigen Kegels zweiter Ordnung, der von einem ihrer Punkte aus die Schmiegungscurve eines Ebenenbüschels dritter Ordnung projicirt; denn solche Kegel umhüllen offenbar die ersten Osculanten dieses Büschels. Nimmt man hinsichtlich der \(p^{\text{ten}}\) Osculante einer Ebene \(f(\kappa ',\lambda ')=0\) ihre \(r^{\text{te}}\) Osculante, so kommt man auf die \((p+r)^{\text{te}}\) Osculante der Ebene hinsichtlich \(\text{E}_n\). Hiernach ist jede \(p^{\text{te}}\) Osculante perspectivisch einmal zu der Schmiegungscurve der zugehörigen \((p-2)^{\text{ten}}\) Osculante, andererseits zu der Regelschar der abwickelbaren Fläche, welche die \((p-1)^{\text{te}}\) Osculante umhüllt. Mit Hülfe dieser Lehrsätze lässt sich nun die Theorie der Raumcurve vierter Ordnung und zweiter Species mit der Theorie des Reye'schen Complexes in Verbindung bringen. Ein Ebenenbüschel \(\text{E}_{2,4}\) vierter Ordnung: \[ a_0\kappa^4+4a_1\kappa^3\lambda +6a_2\kappa^2\lambda^2 +4a_3\kappa\lambda^3 +a_4\lambda^4=0 \] umhüllt eine abwickelbare Fläche sechsten Grades, zu deren Regelschar die Osculanten \[ \mu (a_0+\kappa^3+3a_1\kappa^2\lambda +3a_2\kappa\lambda^2 +a_3\lambda^3) +\nu (a_1\kappa^3+3a_2\kappa^2\lambda +3a_3\kappa\lambda^2 +a_4\lambda^3)=0 \] pespectivisch sind. Jede einzelne dieser Osculanten umhüllt eine abwickelbare Fläche vierter Ordnung mit einer Schmiegungscurve von der dritten Ordnung. Durch paarweise Verknüpfung der drei Gleichungen für diese Schmiegungscurve erhält man drei von \(\kappa ,\lambda\) freie Gleichungen zweiten Grades in \(\mu ,\nu\), von denen die beiden ersten Kegel zweiten Grades darstellen, welche die Schmiegungscurven \(C^3\) und \(K^3\) der Ebenenbüschel \[ \alpha_0\kappa^3+3\alpha\kappa^2\lambda +3\alpha_2\kappa\lambda^2 +\alpha_3\lambda^3=0, \] \[ \alpha_1\kappa^3 +3\alpha_2\kappa^2\lambda +3\alpha_3\kappa\lambda^2 +\alpha_4\lambda^3=0 \] projiciren, während die dritte Gleichung eine andere Fläche zweiten Grades darstellt, welche die Curve enthält. Aus der Form der beiden ersteren Gleichungen geht hervor, dass \(C^3\) und \(K^3\) beide dem Kegel \(\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ a_2 & a_3 \end{vmatrix} =0\) angehören und also ausserhalb seiner Spitze noch vier Punkte mit einander gemein haben, die den Schmiegungscurven aller ersten Osculanten gemeinschaftlich sind. Eliminirt man aus den Gleichungen der drei Flächen zweiten Grades die Grössen \(\mu^2,\mu\nu ,\nu^2\), so erhält man als Eliminationsresultat die Gleichung \[ \begin{vmatrix} a_0 & a_1 & a_2 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ a_2 & a_3 & a_4 \end{vmatrix} =0, \] so dass alle Schmiegungscurven auf einer Fläche dritter Ordnung liegen, welche zu Doppelpunkten die vier Punkte hat, die allen diesen Curven gemeinsam sind. Jeder andere Punkt ist in zwei der betrachteten Schmiegungscurven enthalten, die in einem Kegel zweiter Ordnung mit ihm als Spitze liegen. Offenbar sind dies Strahlenkegel eines und desselben Reye'schen Complexes, dem auch alle Tangenten der Schmiegungscurven der ersten Osculanten und , wegen ihrer Beziehung zu \(\text{E}_{2,4}\), die Regelschar der von diesem Büschel umhüllten abwickelbaren Fläche angehört. Offenbar liegt die Schmiegungscurve dieses Büschels auf \(F_3\); und zwar ist sie der Ort der Spitzen der Complexkegel, die \(F_3\) längs Raumcurven des Systems berühren. Die vier Doppelpunkte von \(F_3\) sind Rückkehrpunkte der Schmiegungscurve. Die abwickelbare Eläche, die \(\text{E}_{2,4}\) umhüllt, enthält eine Doppelcurve \(C\) vierter Ordnung und zweiter Species, zu deren Sehnen die Tangenten der Schmiegungscurve gehören. Von jedem Punkte von \(F_3\) geht eine besondere Sehne derselben aus, die die Polargerade des von dem betreffenden Punkte ausgehenden Complexkegels hinsichtlich der Tangentialebene der Fläche ist. Hiernach können auch die reellen Sehnen unter alleiniger Benutzung reeller Hülfsgebilde construirt werden, die in reellen Punkten die Curve \(C\) nicht treffen.