Sull' interpretazione meccanica delle formole di Maxwell. (Q1541030)

Den Gegenstand dieser Abhandlung bildet die Frage: Wie muss ein elastisches Medium beschaffen sein, damit bei passender Deformation die Druckcomponenten mit den Maxwell'schen Ausdrücken übereinstimmen, d. h. die Form haben: \[ (1) \quad \begin{cases} X_x = - \frac{1}{4\pi}\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)^2 +\frac{1}{8\pi}\varDelta_1(V),\\ Y_y = Z_y = - \frac{1}{4\pi} \;\frac{\partial V}{\partial y} \;\frac {\partial V}{\partial z}\quad\text{etc..} \end{cases} \] wo \(V\) Newton'sches Potential und \[ \varDelta_1(V) = \left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)^2 + \left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)^2 \cdot \] Der herr Verfasser setzt das Potential der elastischen Kräfte in der Green'schen Form an und schreibt \[ (2_{\mathrm a}) \quad \varPhi =\tfrac 12\{A \vartheta^2 + B(\lambda^2+\mu^2+\nu^2-4\beta\gamma-4\gamma\alpha-4\alpha\beta)\}, \] indem er unter \(\alpha, \beta, \gamma,\dots\) die Ausdrücke \[ (2) \quad \begin{cases} \alpha =\frac{\partial u}{\partial x},\quad \beta =\frac{\partial v}{\partial y},\quad \gamma =\frac{\partial w}{\partial z},\quad \vartheta = \alpha+\beta+\gamma, \\ \lambda =\frac{\partial v}{\partial z} +\frac{\partial w}{\partial y}, \quad \mu =\frac{\partial w}{\partial x} +\frac{\partial u}{\partial z},\quad \nu =\frac{\partial u}{\partial y} +\frac {\partial v}{\partial x} \end{cases} \] versteht. Dann sind die Componenten der elastischen Kräfte die Ableitungen von \(\varPhi\) nach \(\alpha, \beta, \gamma, \lambda, \mu, \nu\). Indem man dieselben mit den unter (1) angegebenen Formeln vergleicht, erhält man zur Bestimmung der sechs Grössen \(\alpha, \beta, \gamma,\dots\) sechs lineare Gleichungen, als deren Auflösung sich ergiebt: \[ (3) \quad \begin{cases} \alpha =\frac{1}{8\pi B}\left\{ \left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)^2 - \;\frac{A-B}{3A-4B}\,\varDelta_1 V\right\},\\ \lambda =\frac{1}{4AB}\;\frac{\partial V}{\partial y}\;\frac{\partial V}{\partial z}\cdot \end{cases} \] Nun bestehen aber zwischen den zweiten Ableitungen von \(\alpha, \beta, \gamma, \lambda, \mu, \nu\) sechs lineare Relationen und in Folge dessen eben so viel Bedingungsgleichungen, denen die dritten und zweiten Ableitungen von \(V\) zu genügen haben. Durch eine geeignete Behandlung derselben gelangt der Herr Verfasser zu folgender Relation zwischen den zweiten Ableitungen von \(V\) \[ (6_{\mathrm d}) \quad (3A-4B)\theta^2+A(e^2+f^2+g^2+2e'^2+2f'^2+g'^2)= 0, \] wo \[ (5)\quad\begin{cases} e =\frac{\partial^2 V}{\partial x^2},\quad f =\frac{\partial^2 V}{\partial y^2},\quad g =\frac{\partial^2 V}{\partial z^2};\quad e+f+g = \theta = \varDelta_2(V),\\ e' =\frac{\partial^2 V}{\partial y \partial z},\quad f' =\frac{\partial^2 V}{\partial z \partial x},\quad g' =\frac{\partial^2 V}{\partial x \partial y} \end{cases} \] gesetzt ist. Man erkennt nun sofort, dass die Gleichung \((6_{\mathrm d})\), wenn nicht sämtliche Grössen \(e, f, g, e', f', g'\) überall verschwinden, mit den Bedingungen \[ (2_{\mathrm b})\quad B>0,\quad 3A-4B>0 \] nicht vereinbar ist, d. h. mit denjenigen Bedingungen, welche ausdrücken, dass der durch \(u = 0, v = 0, w = 0\) dargestellte Zustand des Mediums ein Zustand stabilen Gleichgewichts ist. Genügt \(V\) der Gleichung \(\varDelta_2(V) = 0,\) so ist, abgesehen von dem schon angegebenen speciellen Falle, eine Erfüllung der Gleichung nur dadurch möglich, dass \(A = 0\) ist. Diesen Fall nun unterzieht der Verfasser einer eingehenden Besprechung. Es ergiebt sich zunächst, dass, wenn \(\varPhi\) auch nicht mehr für ein beliebiges System von Verschiebungen positiv ist, dieses wenigstens für solche der Fall ist, welche hier in Betracht kommen, indem sich hier für \(\varPhi\) ergiebt \[ (6_{\mathrm f})\quad \varPhi =\frac{5}{8B}\left\{ \;\frac{\varDelta_1 V}{8\pi}\right\}^2\cdot \] Die Hesse'sche Determinante \(\varDelta\) von \(V\) und die durch \(\varTheta\) bezeichnete Grösse \[ fg + ge + ef - (e'^2 + f'^2 + g'^2) \] lassen sich rational durch dieselbe Grösse \(h\) darstellen, indem \[ \varTheta = - 3h^2\quad \varDelta = 2h^3 \] ist. Durch diese Grösse \(h\) und drei andere Grössen \(\xi, \eta, \zeta,\) deren Ableitungen nach Richtung der Kraftlinien verschwinden und deren Quadratsumme gleich 1 ist, lassen sich dann die zweiten Ableitungen von \(V\) in folgender Weise darstellen: \[ (10_{\mathrm b})\quad \left\{\begin{matrix}\l\quad & \l\quad & \l\\ e = h(3\xi^2-1),& f = h(3\eta^2-1),& g = h(3\zeta^2-1),\\ e' = 3h\zeta\eta,& f' = 3h\xi\zeta,& g' = 3h\eta\xi.\end{matrix}\right. \] Bezeichnet man mit \(\frac{\partial h}{\partial n}\) die Ableitung von \(h\) in Richtung der Kraftlinie, so genügt \(h\) der Differentialgleichung \[ (10_{\mathrm c}) \quad H\;\frac{\partial h}{\partial n} = 3h^2, \] in welcher \(H =\frac{\partial V}{\partial n}\) ist. Nun ist aber gemäss den Definitionen von \(e, f, g\dots.\) \[ edx + g'dy + f'dz = d\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right), \quad\text{etc.}; \] daraus folgt in einfacher Weise, dass \( \xi dx+\eta dy +\zeta dz\) ein vollständiges Differential \(dr\) sein müsse; \(h\) ist nun eine Function eben dieser einen Variabeln \(r\) und genügt der Bedingung: \[ \frac {d\log h}{dr} = - \tfrac 32\,\varDelta_2(r). \] Im weiteren Verlauf der Abhandlung wird dann für \(r^2\) der Ausdruck \((x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2\) abgeleitet, welcher durch passende Wahl des Coordinatenanfangspunktes natürlich auf die einfachere Form \(x^2 + y^2 + z^2\) gebracht werden könnte. Hiermit sind dann die Ausdrücke \(\xi, \eta, \zeta, h\) und damit die Grössen \(e, f, g, e', f', h'\) bestimmt. Es ist nämlich \[ \xi=\frac{x-x_0}{r},\quad \eta =\frac{y-y_0}{r}, \quad \zeta =\frac{z-z_0}{r},\quad h =\frac{M}{r^3}, \] und die Differentiale der ersten Ableitungen von \(V\) sind dann \[ d\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right) = - Md \left(\frac{x-x_0}{r^3}\right),\quad d\left(\frac{\partial V}{\partial y}\right) = - Md\left(\frac{y-y_0}{r^3}\right), \] \[ d\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right) = - Md \left(\frac{z-z_0}{r^3}\right)\cdot \] Da nun die Grössen \( \;\frac{\partial\xi}{\partial n}, \;\frac{\partial \eta}{\partial n},\;\frac{\partial\zeta}{\partial n}, \) wie oben angegeben, verschwinden, so ist \[ \;\frac{\partial x}{\partial n} = \xi\;\frac{\partial r}{\partial n},\quad\;\frac{\partial y}{\partial n} = \eta\;\frac{\partial r}{\partial n},\quad\;\frac{\partial z}{\partial n} = \zeta\;\frac {\partial r}{\partial n}; \] und es verhalten sich die ersten Ableitungen von \(V\) wie \(\xi, \eta, \zeta.\) Demnach ist \(V={\frac M r}+ \text{const.}\) Die Druckcomponenten sind dann die sechs zweiten Ableitungen nach den Coordinaten der Function \(\psi=\frac {M^2}{8\pi}\log r;\) die Grössen \(\alpha, \beta, \gamma, \lambda, \mu, \nu\) lassen sich ebenfalls als zweite Ableitungen einer Function von \(r\) darstellen, nämlich der Function \(\varphi =\frac{M^2} {64\pi Br^2}.\) Dadurch sind dann die Verrückungen bis auf lineare Glieder bestimmt; sollen dieselben im Unendlichen nicht selbst unendlich werden; so muss \[ u =\frac{\partial \varphi}{\partial x},\quad v =\frac {\partial\varphi}{\partial y},\quad w =\frac {\partial\varphi}{\partial z} \] sein. In einem weiteren Abschnitt wird dann zunächst die Frage behandelt, welche Verrückungen, die nur in Richtung der Entfernung von einem festen Punkte geschehen und deren Grösse lediglich eine Function dieser Entfernung ist, durch blosse Einwirkung von Druckkräften zu stande kommen. In einem Schlussparagraphen wird die zuerst behandelte Frage unter der veränderten Voraussetzung behandelt, dass \(A\) von Null verschieden, dass \(\varDelta_2 (V)\) zwar nicht mehr gleich Null ist aber ebenso, wie \(V\) selbst nur von \(r = (x^2 + y^2 + z^2)^{\frac 1 2}\) abhängt. Setzt man \[ u =\frac{\partial\varphi}{\partial x},\quad v =\frac{\partial\varphi}{\partial y},\quad w =\frac{\partial\varphi}{\partial z}, \] so ergiebt sich allgemein \[ V =\frac{M}{r^\eta}; \quad \varphi =\frac{\eta}{16\pi E}\;V^2, \] wo \(M\) eine willkürliche Constante, \(E\) der Elasticitätsmodul und \(\eta\) das Verhältnis der Längendilatation zur Quercontraction ist. In einer angehängten Note werden die linearen Beziehungen unter den zweiten Ableitungen der Grössen \(\alpha, \beta, \gamma, \lambda, \mu, \nu\) besprochen.