Sulla teoria delle onde. (Q1541102)

Bei der Ableitung der Gesetze der Doppelbrechung aus den Gleichungen der Elasticitätstheorie verfährt Herr F. Neumann (Vorlesungen über die Theorie der Elasticität, herausgegeben von O. E. Meyer, Leipzig 1885) folgendermassen. Die Gleichung dritten Grades, welche sich für die Fortpflanzungsgeschwindigkeit einer das Medium durchziehenden ebenen Welle ergiebt, zerfällt für den Fall, dass die Wellennormale in einem Hauptschnitt des Krystalls liegt, in eine lineare und eine quadratische Gleichung. Damit die letztere, aus welcher die Geschwindigkeit der longitudinalen und einer der transversalen Wellen folgt, wiederum in zwei lineare Factoren zerfalle, müssen zwischen den sechs Constanten der elastischen Gleichungen drei Relationen bestehen die Relationen (9) p. 234]. Diese Relationen wendet nun Herr Neumann nicht direct an, sondern verbindet mit ihnen die weitere Annahme, dass die Differenzen der Quadrate der übrig bleibenden Constanten vernachlässigt werden können; eine Annahme, die darauf hinauskommt, dass das Medium nahezu isotrop ist. Daraus ergiebt sich dann, dass auch für eine beliebige Lage der Wellennormale aus der Gleichung dritten Grades sich ein linearer Factor, und zwar der auf die longitudinale Welle bezügliche, absondert, während der übrigbleibende quadratische Factor die Fresnel'schen Gesetze ergiebt. Man erkennt aus der eben skizzirten Darstellung nicht, welchen Effect die oben erwähnten Relationen zwischen den Constanten für sich allein haben, und wozu die weitere Annahme über die Grösse dieser Constanten dient. Das zu untersuchen ist der Zweck des vorliegenden Aufsatzes. Herr Beltrami geht in demselben von dem folgenden Ausdruck des elastischen Potentials für ein Medium, das drei orthogonale Symmetrieaxen besitzt, aus: \[ {\tfrac 12}[A\alpha^2+B\beta^2+C\gamma^2+2A'\beta\gamma+2B' \gamma\alpha+2C'\alpha\beta+A''\lambda^2+B''\mu^2+C''\nu^2], \] wobei \(\alpha, \beta, \gamma\) die Dilatationen, \(\lambda, \mu, \nu\) die Gleitungen bezeichnen. Von den hieraus folgenden Formeln gelangt man zu den Neumann'schen, wenn man \(A'=A''=a, B'=B''=b\), \(C'=C''=c\) setzt. Damit nun für eine in einem Hauptschnitt liegende Wellennormale die longitudinale Welle sich absondert, müssen zwischen den obigen neun Constanten drei Gleichungen bestehen, deren erste \[ (1)\quad (B-A'')(C-A'')=(A'+A'')^2 \] ist. Doch genügen diese Relationen für sich allein noch nicht, um die Absonderung der longitudinalen Welle auch bei allgemeiner Lage der Wellennormale zu bewirken. Dazu ist vielmehr noch die weitere Beziehung \[ (2)\quad (A-C'')(B-C'')(C-B'')=(A-B'')(B-C'')(C-A'') \] nötig. Durch Umformung derselben ergiebt sich, falls man noch \(A'=A'', B'=B'', C'=C''\) setzt, dass zwei der Constanten \(A'', B'', C''\) gleich sein müssen. Um diese Einschränkung zu vermeiden, muss man mit Neumann das Mittel als nahezu homogen, d. h. die Differenzen \[ B-C,\quad C-A,\quad A-B,\quad B''-C'',\quad C''-A'',\quad A''-B'' \] als so klein annehmen, dass ihre Quadrate vernachlässigt werden können. Bei dieser Vernachlässigung ist die Gleichung (2) von selbst erfüllt. Weiter werden nun die Fresnel'schen Gesetze für die Geschwindigkeiten der transversalen Wellen abgeleitet. Die mathematisch sehr elegante Darstellung unterscheidet sich von der Neumann'schen einmal durch Beibehaltung aller neun obigen Constanten [natürlich mit Berücksichtigung der Relationen (1)], sodann aber dadurch, dass Herr Beltrami sich lediglich auf die Umformung der Gleichung des Fortpflanzungsellipsoids stützt, d. h. desjenigen, dessen Axen durch dieselbe Gleichung dritten Grades bestimmt werden, wie die Geschwindigkeiten der zu einer gegebenen Normale gehörigen Wellen. Jenes Ellipsoid wird durch Einführung neuer Constanten an Stelle der ursprünglichen auf die Form gebracht: \[ H(x^2 + y^2 + z^2) - \alpha(mz-ny)^2 -\beta(nx-lz)^2 -\gamma (ly-mx)^2=1. \] Wenn durch den Beltrami'schen Aufsatz auch nicht gerade eine Lücke in der Neumann'schen Darstellung ausgefüllt wird, so erfährt die letztere doch eine schätzenswerte Ergänzung, die zugleich auf das Wesen der Sache ein neues Licht wirft. Zum Schluss weist Herr Beltrami noch auf einige Incorrectheiten in der Redaction der Neumann'schen Vorlesungen hin.