Ueber eine Aufgabe der Ausgleichungsrechnung. (Q1541203)

Es seien \( x_1,x_2,\dots, x_n\) die \(n\) Unbekannten eines Problems, welche mit den \(q\) beobachteten Grössen \(a_1, a_2,\dots a_q\) \((q > n)\) durch Gleichungen von der Form \[ a_\alpha = \sum_\beta b_{\alpha\beta} x_\beta \] verbunden sind, wo die \(b\) gegebene Zahlen bedeuten; ferner seien die den \(a\) zukommenden Gewichte \(p\) willkürlich mit der Einschränkung, dass die Summe der \(p\) gegeben, z. B. gleich Eins sein soll; dann sind die mittleren Fehler der \(x\), welche sich bei einer Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate ergeben, vollständig bestimmt sobald über die \(p\) Verfügung getroffen ist, und das Gleiche gilt von den Elementen eines ``Grössencomplexes'' \(y_1,y_2,\dots, y_r,\), dessen Bestandteile \(y\) gegebene lineare Functionen der \(x\) sind. Es wird nun,gefragt, welches die zur Bestimmung des Complexes \((y)\) günstige Annahme der \(p\) ist, wenn als Mass für die Güte jener Bestimmung die Quadratsumme der m. F. der \(y\) benutzt wird. Für den Fall \(r=1\) ist die Aufgabe bereits von Herrn Schreiber (vgl F. d. M. 1882. XIV. 914, JFM 14.0914.04) erledigt worden, mit dem Ergebnis, dass von den \(p\) stets nur \(n\) von Null verschieden zu sein brauchen, dass also die Messung ``überschüssiger'' Stücke unnötig ist. Für den allgemeinen Fall ergiebt sich das Resultat, dass die Messung überschüssiger Stücke bei der günstigsten Gewichtsverteilung unter Umständen erforderlich sein kann, aber nur, wenn die \(b_\alpha\beta\) und die Coefficienten der \(y\) gewissen Bedingungen genügen, und dass ferner die Anzahl dieser überschüssigen Stücke unterhalb einer bestimmten Grenze bleibt, wie gross auch \(q\) sein mag.