Eine Gleichung zwischen den Längen, Breiten und Azimuten dreier Erdorte. (Q1541219)

Sind zur Festlegung der gegenseitigen Lage von \(n\) Punkten auf der Erde \(n\) Polhöhen, \(n-1\) Längendifferenzen und die \(n(n-1)\) gegenseitigen Azimute beobachtet, also im ganzen \(n^2+n-1\) Grössen, und sind, wenn von jeder Annahme über die Erdgestalt abgesehen wird, für jeden Ort die drei Coordinaten und die Lage der Lotlinie zu bestimmen so wären, wenn die \(Z\)-Axe nach dem Pole gerichtet und die \(XZ\)-Ebene durch einen zweiten Punkt gelegt wird, für den ersten Punkt die Richtung der Lotlinie durch zwei Grössen, für den zweiten Punkt die Richtung der Lotlinie und zwei Coordinaten, also vier Grössen, und für jeden der \(n-2\) anderen Punkte die Richtung der Lotlinie mit zwei und der Ort mit drei Coordinaten zu ermitteln. Das sind im ganzen \(5n-4\) Unbekannte. Weil aber aus Winkelmessungen allein die absoluten Werte der Coordinaten sich nicht finden lassen, sondern nur ihre Verhältnisse, so gehen nur \(5n-5\) Unbekannte in das Problem ein. Da nun der Ueberschuss der Zahl der Beobachtungen über die der Unbekannten \((n-2)^2\) ist, so bestehen zwischen den beobachteten Grössen ebensoviel Bedingungen, die genau erfüllt sein müssen, wenn die Beobachtungen fehlerfrei vorausgesetzt werden. Für \(n = 3\) ergiebt sich eine Bedingung. Diese ist in der vorliegenden Abhandlung entwickelt.