Sur les polynômes de Jacobi. (Q1541457)

Benennt man das Polynom der Gleichung \[ F(-n,n +\alpha +\beta -1, \alpha,x) =0 \] \(X\) oder \(\varphi (n,a,c),\) wobei \(a =\alpha +n-1, \; c =\alpha +\beta +2n -2\) gesetzt ist, und bildet man die Sturm'sche Reihe \[ X,X_1 =\frac{\partial X}{\partial x},X_2,X_3,\dots, \] dann ist \[ \begin{aligned} X & =\varphi (n,a,c), \; X_1 =n\varphi (n -1,a,a),\\ X_2 & ={\mathrm cst}. \varphi (n -2,a -1,c -2),\dots\\ X_k & ={\mathrm cst}. \varphi (n -k,a -k +1,c -2k +2),\dots ,\end{aligned} \] und die \(X\), \(X_1\), \(X_2\),\(\cdots\) sind ferner bis auf constante Factoren Gleich den aus den Wurzeln von \(X=0\) gebildeten Sylvester'schen Determinanten. Wenn \(\alpha\) und \(\beta>0\) sind, dann liegen alle Wurzeln in dem Intervalle von \(c\) bis 1.