Ueber Gleichungen siebenten Grades mit einer Gruppe von 168 Substitutionen. II. (Q1541484)

Ueber die früheren Arbeiten des Herrn Verfassers, welche sich auf diesen Gegenstand beziehen, wurde F. d. M. XII. 1880 p. 96 (JFM 12.0096.02) und XIV. 1882 p. 80 (JFM 14.0080.03) referirt. In jenen Arbeiten wurde eine neue Darstellung der behandelten Theorie in Aussicht gestellt, bei der unabhängig von der Invarianten-Theorie nur die elementaren Prozesse der gewöhnlichen Algebra zur Verwendung kommen sollten. Diese Darstellung wird in der vorliegenden Arbeit gegeben. Mit der Gleichung \[ x^7 +(2)x^5 +(3)x^4 +(4)x^3 +\cdots +(7) =0 \] wird eine zweite zusammengestellt und behandelt \[ \xi^7 +(\bar{2})\xi^5 +(\bar{3})\xi^4 +t(\bar{4})\xi^3 +\cdots +(\bar{7}) =0 \] deren Wurzeln mit jenen der ersteren durch \[ -\sqrt{2}\xi_{1-\nu} =x_\nu +x_{\nu+1} +x_{\nu+3} \] verbunden sind. Als Functionen \(S\) werden diejenigen ganzen Functionen der \(x_\nu\) bezeichnet, welche einer bestimmten Gruppe von 168 Substitutionen angehören. Es wird gezeigt, dass alle \(S\) ganze Functionen der \((i), (\bar{i})\) sind, und dass speciell \((6), (\bar{6}), (7), (\bar{7})\) sich rational durch \((2) =(\bar{2}), (3), (\bar{3}), \dots, (5), (\bar{5})\) darstellen lassen, während diesen eine Relation besteht, die in \((5), (\bar{5})\) vom sechsten Grade ist. Nennt man diejenigen Gleichungen, bei denen \[ (1+\sqrt{-7})(3) =(1-\sqrt{-7})(\bar{3}) \] ist, Normalgleichungen, dann wird gezeigt, wie man von der vorgelegten Gleichung durch Transformation zu einer Normalgleichung und von ihr zu einer ``ausgezeichneten'' Gleichung, d.h. zu einer solchen gelangen kann, deren Wurzeln durch drei unbestimmte Grössen in einer von Herrn F. Klein genauer untersuchten Form darstellbar sind. Nimmt man ferner die Wurzel einer Hülfsgleichung vierten Grades dazu, so kann man auf Gleichungen von einer der Formen \[ x^7 +7\cdot \frac{-1+\sqrt{-7}}{2}\;\nabla \cdot x^4 -7 \cdot \frac{5 +\sqrt{-7}}{2}\;\nabla^2 \cdot x -C =0, \] \[ \xi^7 +7\cdot \frac{-1-\sqrt{-7}}{2}\;\nabla \cdot \xi^4 -7 \cdot \frac{5-\sqrt{-7}}{2}\;\nabla^2\cdot \xi -C =0 \] gelangen, die sich durch elliptische Functionen auflösen lassen. Die gefundene Transformation wird endlich in die Tschirnhausen'sche Form umgesetzt. -- Der grosse Formelreichtum der Arbeit verbietet es, hier genauer auf die Durchführung der angegebenen Resultate einzugehen.