Ueber einige Anwendungen der Modulsysteme auf elementare algebraische Fragen. (Q1541620)

Im ersten Abschnitte der Abhandlung, ``einleitende Bemerkungen über Congruenzen und Modulsysteme'' betitelt, zeigt der Verfasser, wie die Einführung der Modulsysteme eine naturgemässe Erweiterung des Gauss'schen Congruenzbegriffes sei, welche bei dem Fortschritte von der gewöhnlichen Zahlentheorie zur arithmetischen Behandlung ganzzahliger Functionen von unbestimmten Variabeln nicht nur nützlich, sondern notwendig wird. Der Begriff des ``Enthaltens und Enthaltenseins von Modulsystemen'' wird dargelegt und daran die wichtige Bemerkung geknüpft, wie Modulsysteme mit unendlich vielen Elemente durch solche mit einer endlichen Anzahl von Elementen ersetzt werden können; dann folgt der Begriff der ``Stufe'' oder des ``Ranges'', deren Bedeutung sich auch hier im zweiten Abschnitt zeigt; und endlich wird neu eingeführt die Bezeichnung ``Primmodulsysteme'' oder ``Primformen'' für diejenigen Modulsysteme oder Formen, welche nicht nur ``nicht zerlegbar'' sind, sondern auch keine anderen Modulsysteme oder Formen derselben Stufe unter sich enthalten. Für sie gilt dann der Satz, dass ein Product nur dann für ein Primmodulsystem congruent Null sein kann, wenn einer der Factoren es ist. In den folgenden Abschnitten zeigt sich an der Behandlung einzelner algebraischer Fragen die weittragende Bedeutung der Modulsysteme, durch welche es gelingt, mathematische Resultate in der Form identischer Gleichungen präciser, übersichtlicher und allgemeiner zu fassen, als es jemals bisher geschehen ist. Von den Ergebnissen des zweiten Abschnittes, welcher sich mit linearen Congruenzen für Primmodulsysteme beschäftigt, heben wir hervor: ``Durch ein System von Congruenzen \[ \sum_{k=1}^{k=t'} V_{ik}^{(1)} X_k\equiv 0\quad (\text{modd. }M,M',M'',\dots )\quad (i=1,2,\dots,t'), \] in welchem \(V_{ik}^{(1)},M,M',M'',\dots\) beliebige Grössen eines natürlichen Rationalitätsbereichs bedeuten und die letzteren ein Primmodulsystem bilden, wird die \(t'\)-fache Mannigfaltigkeit der Grössen \(X\) auf eine genau \((t'-r)\)-fache eingeschränkt, wenn die Zahl \(r\) den Rang des Systems \(V_{ik}^{(1)}\) in Beziehung auf das Modulsystem \((M,M',\dots)\) bezeichnet. Der dritte Abschnitt liefert die Darstellung des grössten gemeinsamen Teilers zweier ganzen Functionen von \(x\) für irgend ein Primmodulsystem des Bereichs ihrer Coefficienten. Wenn man hierbei \[ {\mathfrak V}(x)={\mathfrak v}_0+{\mathfrak v}_1x+\cdots+{\mathfrak v}_{n-1}x^{n-1},\quad V(x)=v_0+v_1x+\cdots+v_{n-1}x^{n-1}+x^n, \] \[ {\mathfrak V}(x):V(x)=w_0x^{-1}+w_1x^{-2}+w_2x^{-3}+\cdots \] setzt, so ergiebt sich eine Reihe merkwürdiger Beziehungen für die Determinanten \[ | w_{p+q}|=W_{m+r}\quad (p,q=0,1,2,\dots,m+r), \] \[ | w_{h+k}|=V_m\quad (h,k=0,1,2,\dots,m-1); \] so z. B. dass eine Potenz jeder aus den \(w_{p+q}\) zu bildenden Determinante, nach Multiplication mit einer genügend hohen Potenz von \(V_m\), modd. \(W_m,\dots,W_{n-1}\) congruent Null wird, also das aus den \((n-m)\) Hauptdeterminanten \[ | w_{p+q}|\quad\begin{pmatrix} \r & \l\\ p,q & = 0,1,\dots,m+r \\ r & = 0,1,\dots ,n-m-1\end{pmatrix} \] zu bildende Modulsystem enthält. Die bis dahin abgeleiteten Resultate werden im vierten Abschnitt zur Auflösung des Systems von \(n\) Congruenzen \[ \sum_{k=0}^{n-1}w_{h+k}\varphi_k\equiv w_h^0\quad (\text{modd. }M', M'', M''', \dots )\quad (h=0,1,\dots ,n-1) \] verwendet, und die Bedingungen für die Lösbarkeit angegeben. Für den einfachen Fall des absoluten Rationalitätsbereichs \({\mathfrak R}=1\) und für \(w_{h + p}=w_h\), \(w_{p + n}^0=w_h^0\) erhält man, wenn an die Stelle des Primmodulsystems der Primmodul \(p\) tritt, die Bedingung, dass die Congruenz \[ \sum_{k=0}^{n-1} w_k^0 x^{n-k-1} \equiv 0\quad (\text{modd. } p, x^n-1, \sum_{k=0}^{n-1} w_k x^{n-k-1}) \] erfüllt sei; und findet dies statt, dann liefert \[ \sum_{k=0}^{n-1} w_k^0 x^{n-k-1}\equiv \sum_{k=0}^{n-1} \varphi_k x^k \sum_{k=0}^{n-1} w_k x^{n-k-1}\quad (\text{modd. }p,x^n-1) \] die Grössen \(\varphi\). Endlich wird der Satz abgeleitet: Die Irreductibilität von \(V(x)\) in Beziehung auf ein Modulsystem \((M',M'',\dots)\) ist dadurch charakterisirt, dass der Rang des Systems \(w_{i+k}\) stets \(n\) ist, wenn für \(w_m,\dots,w_{n-1}\) beliebige ganze Grössen des Bereichs angenommen werden, dem die \(v_m,\dots,v_{n-1}\) angehören, und wenn die \(w_n,\dots,w_{2n-2}\) mittels \[ w_{h+n} + \sum_{k=o}^{n-1} v_kw_{h+k} = 0\quad (h=0,1,\dots) \] bestimmt werden.