Ein Satz über Discriminanten-Formen. (Q1541621)

Auf Grund der Principien, die Herr Kronecker in den ``Grundzügen einer arithmetischen Theorie der algebraischen Grössen'' entwickelt hat, leitet er hier durch einfache Überlegungen die Sätze ab: 1) Die Discriminantenform einer jeden aus den verschiedenen Wurzeln einer Gleichung zu bildenden Gattung ist in einer Potenz der Discriminante der Gleichung selbst enthalten. 2) Die Discriminantenform einer Gattung \((\xi_1)\) kann zu einer hinreichend hohen Potenz erhoben werden, damit sie durch die Discriminantenform einer jeden aus den verschiedenen Conjugirten von \(\xi_1\) zu bildenden Gattung teilbar werde. Wenn nun \(F(x),\;G(y)\) irreductible ganze Functionen eines und desselben Bereiches sind, und wenn die Coefficienten der höchsten Potenzen von \(x\), \(y\) gleich 1 angenommen werden, so kann eine der beiden Gleichungen \(F=0,\;G=0\) nur dann unter Adjunction einer Wurzel der andern reductibel werden, wenn eine gewisse Gattung von rationalen Functionen der Wurzeln der einen Gleichung mit einer der zweiten Gleichung übereinstimmt. Die obigen Sätze zeigen: ``Die Discriminantenform dieser Gattung ist gemeinsamer Teiler der Discriminanten von \(F\) und \(G\)''. Im diesem allgemeinen Satze ist als besonderer Fall enthalten, dass derjenige Factor von \(x^n -1\), welcher nur für die primitiven \(n^{\text{ten}}\) Wurzeln der Einheit gleich Null wird, irreductibel ist, und zwar auch dann, wenn eine Wurzel einer ganzzahligen Gleichung adjungirt wird, deren Discriminante zu \(n\) relativ prim ist, wie es Herr Kronecker in Liouville J. (1854) bereits nachgewiesen hatte.