Ueber Gleichungen fünften Grades. (Q1541637)

Es wird eine directe Methode angegeben, die allgemeine Gleichung fünften Grades in eine solche mit einem einzigen Parameter zu transformiren. Zwei Functionen vierten Grades \(\varphi,\psi\) lassen sich so bestimmen, dass sie der Kegelschnittgleichung \[ c_{11}\varphi^2 + 2c_{12}\varphi \psi +c_{22} \psi^2 +c_1 \varphi + c_2 \psi =0 \] genügen; die Zerlegung des Aggregats der Glieder zweiter Ordnung führt auf eine Grösse \(y\), für welche die Gleichung fünften Grades in die Brioschi'sche Form \[ u^5 -10u^3 +45u+Z\sqrt{3^5}=0 \] gebracht werden kann; auch der Parameter \(Z\) wird aus \(\varphi,\psi\) und denConstanten \(c\) bestimmt. Im zweiten Paragraphen werden die notwendigen Rechnungen durchgeführt: Für \(\varphi\) genügt eine Function zweiten Grades; die Kegelschnittgleichung wird gebildet; die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung werden aus denen der Brioschi'schen Form berechnet. Es folgen invariantentheoretische Bemerkungen, aus denen hervorgeht, dass für die Brioschi'sche Form die Invariante \(B\) verschwindet.